PPUCATI0K8 DE LA THÉORIE DE LA COMPOSITION DES FORCES

28. Étant donné un triangle ÂBC, on prend les milieux a, bf e des c6tés BC, CA, AB; on joint les points ainsi obtenus aux sommets opposés, et Ton obtient trois droites Aa, Bfr, Ce, qui se coupent en un même point M, qu'on appelle le centre de gravité au triangle ABC.

Cela posé, H F on place en M un point matériel et qu^on lui applique des forces représentées en grandeur et en direction par les droites IfA, IIB, MC, ce point sera en ^.

équilibre.

Il suffit de démontrer que l'une quelconque, MA, de ces forces est égale et opposée à la résultante des deux autres, MB,MC.

Achevons le parallélogramme MBIC. La droite 10 représentera en grandeur et en direction la résultante des deux forces MB, MC.

n. ^ mûc oouJGM». 3

Digitizi

Cette droite MI passe au point a, milieu Ae BC, car les deux diagonales BC, MI d'un parallélogramme se coupent mutuellement en parties égales. Donc la direction MI se confond avec la direction Ma, et la force MI agit dans une direction contraire à la force MA. On a de plus MI=HA; en effet, le point a, intersection des deux diagonales MI,BC, est le milieu de MI , et par suite MI est double de Ma. Mais on sait que les trois médianes Aa, Bb^ Ce se coupent au point M en deux segments dont Tun, MA, est double de l'autre. Ma; donc enfin les deux longueurs MI et MA sont égales. On pourrait le démontrer, au surplus, en observant que b étant, par hypothèse, le milieu de AC, et CI étant, par construction, parallèle à frM, le point M est le milieu de AI.

La réciproque est vraie : Lorsque trois farces appliquées efi un même point se font é^ilibre^ le point d* application de ces troût forces est le centre de gravité du triangle obtenu en joignant deux à deux leurs extrémités.

On remarquera que si le point M était sollicité par les trois

forces Ma, Mb, Me, il serait encore en équilibre, car ces forces

sont respectivement contraires aux forces MA, MB, MC, et

égales à leurs moitiés. On rentre d'ailleurs dans le théorème

démontré, en considérant le triangle aftc, dont le point M est

aussi le centre de gravité.

Il est donc très facile de vérifier géométriquement si trois

forces, MA, MB, MC, appliquées à un même

point se font équilibre. Il suffit de joindre

les points B et C, et de prendre le milieu,

a, de la droite de jonction ; Téquilibre exige

que le point a soit situé sur le prolonge-

p.^ ^^ ment de MA, et que l'on ait MA =Ma x 2.

Autrement l'équilibre n'a pas lieu.