DES FORCES CONCOURANTES

Fig. 22.

droite ME représentera la moitié de la résultante des forces MA et MB. De même MG représentera la moitié de la résultante de MCet MD. Pour Téquilibre, il faut et il suffit que les deux directions ME, MG soient contraires, et que l'on ait ME=MG. Il faut et il suffit, en d'autres termes, que les trois points E, M, G soient en ligne droite, et que M soit le milieu de EG.

Si ces conditions sont satisfaites pour la droite EG, elles le seront aussi pour la droite HF, qui joint les milieux des cdtés opposés BC, ÂD du quadrilatère ABCD.

30. É(ant donné un triangle ABC, on prend dans son plan un point quelconque, 0, et de ce point, on abaisse sur les trois côt^ des perpendiculaires Oa, 06, Oc. Au pointO, on place un point matériel auquel on applique, suivant ces perpendiculaires, des forces représentées sur la figure par les longueurs OA'=BC, OC'=AB, OB'=AC; le point matériel 0, sons r action de ces forces^ est en équilibre.

Il sufGt de prouver que l'une des forces OA' est égale et contraire à la résultante des deux autres. Prolongeons indéfiniment la direction A'O, et par le point C' menons C'A" parallèle à OB'. Nous formons ainsi un triangle OC'A" dont les côtés sont respectivement perpendiculaires aux côtés du triangle donné; ces deux triangles sont donc semblables, et par suite ils sont égaux, car les côtés homologues OC', AB sont égaux entre eux; donc A''C'=AC=OB', et OA''=BC=OA'. La force OA" est la diagonale du parallélogramme construit sur OC', OB', et l'équilibre est démontré.

En vertu du théorème précédent (§ 28), si Ton joint A'B', B'C, C'A', le point 0 sera le centre de gravité, et les droites OA', OB', OC' les directions des médianes du triangle ainsi obtenu*