APPLICATION DE LA STATIQUB

THÉORÈMES SUR LE HOUYEHEfrr ÉLÉUENTAIRE D'im SOLIDB.

142. Les liaisons auxquelles le corps solide est assujetti s'expriment par des équations où entrent les coordonnées d'un certain nombre de points particuliers du système, que nous appellerons points dirigés ; nous commencerons par chercher le nombre N de ces points^ suivant la nature des liaisons, et suivant le degré de liberté qu'on veut laisser au système mobile.

Supposons d'abord que N soit égal ou supérieur à 3.

Parmi les N points dirigés, nous admettrons qu1l en y ait f qui restent fixes, / qui soient assujettis à glisser sur des lignes fixes, et s qui soient assujettis à glisser sur des surfaces, ces points, lignes et surfaces fixes étant d'ailleurs entièrement arbitraires. Nous aurons la première équation

Les coordonnées des N points sont au nombre de 5N, et nous savons qu'entre ces coordonnées il y a 3N — 6 relations distinctes, exprimant que les distances mutuelles de trois points, et les distances de chacun des N — 3 autres aux trois premiers sont constantes (I, § 122). Les liaisons intérieures du système nous donnent donc d'abord 3N — 6 équations. Cette formirle suppose N = ou > 5.

Les f points fixes sont définis par Zf équations, qui font connaître leurs 3/* coordonnées.

Les coordonnées des / points mobiles sur des lignes sont assujetties à satisfaire à 2/ équations, chaque ligne étant représentée analytiquement par deux équations.

Enfin, les coordonnées des s points mobiles sur des surfaces satisfont aux s équations de ces surfaces.

Les liaisons extérieures donnent donc 3/*+ 2/ + « équations; réunissant toutes les équations de condition, on a, entre les

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3N coordonnées des points considérés, un nombre d'équations égala

ou bien, en remplaçant /'+/ + « par N,

Gela posé, si le nombre de ces équations, supposées dis^ tmctesj est égal au nombre des coordonnées, le système reste fixe, car les coordonnées de chaque point ont alors des valeurs constantes définies par ce système d'équations.

Si le nombre des équations est inférieur d'une unité au nombre des coordonnées , Tune des coordonnées reste arbitraire, et toutes les autres peuvent s'exprimer en fonction de celle-là; tous les points du solide sont donc assujettis, par les liaisons, à décrire des lignes.

Si enfin le nombre des équations est inférieur de deux unités au nombre des coordonnées, deux coordonnées restent arbitraires, et, par suite, à partir de chaque position du système, on peut le déplacer dans une infinité de directions, chacun de ses points restant sur une surface, sauf certains points particuliers qui peuvent être encore assujettis à décrire des lignes. Nous allons reprendre une à une ces diverses hypothèses.

1"* Pour que le système soit fixe, il faut que l'on ait

ou bien

Les solutions de cette équation sont les suivantes :

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2"" Pour que les points du système décrivent chacun des lignes, il faut que Ton ait *

ou bien

ce qui donne successivement :

• aS.

S"" Pour que les points soient assujettis à décrire des surfaces, il faut que

ou bien que

ce qui donne seulement les deux solutions :

(il) N = 4, /=o, /=o, « = 4.

Jusqu'ici nous avons exclu l'hypothèse N < 3. Examinons successivement les cas particuliers de N=2 et N = 1.

(13) SiN=2, les points du système sont assujettis à décrire des lignes quand les deux points dirigés restent fixes ; le système a alors un mouvement de rotation autour de l'axe qui joint ces deux points.

(14) Les points du système sont assujettis à se mouvoir sur des surfaces, quand les points dirigés glissent le long de la droite qui les joint.

(15) SiN=l, les points du système sont assujettis à décrire des sphères autour du point dirigé comme centre, quand ce point reste fixe.

143. Appliquons la statique à chacune de ces quinze hypothèses.

Dans les six premières, le solide est fixe; une force appli-

A LA CINÉMATIQUE. SIS

quée à un point quelconque du solide, dans une direction quelconque, est donc équilibrée par les réactions exercées sur les points dirigés.

Dans le cas (1), les réactions sont normales aux six surfaces directrices, qui sont arbitraires ; donc une force quelcon-^ que est, en général^ décomposable* suivant six directions données.

Dans le cas (2), Tune des réactions, celle de la ligne, est contenue dans le plan normal à cette ligne ; donc une force quelconque est, en général^ décomposable en dnq composantes, dont qtiatre aient des directions données^ et la cinquième passe par un point donné et soit contenue dans un plan donné.

Dans le cas (3), Tune des réactions, celle du point fixe, passe par ce point ; une force quelconque est donc décomposable en quatre forces, dont l'une passe en un point donné, et les trois autres aient des directions données.

Le cas (4) nous montre de môme qu^une force quelconque est décomposable en quatre forces, dont deux aient des directions données, et les deux autres passent par des points donnés et soietit contenues dans des plans donnés.

Les cas (5) et (6) font voir qu'une force quelconque est décom* posable en trois forces, dont Vwie ait une direction donnée, dont la seconde passe par un point donné et soit contenue dans un plan donné, et dont la troisième passe par un point donné; et qu'une force quelconque est décomposable en trois forces, dont chacune passe par un point donné et soit contenue dans un plan donné conduit par ce point.

144. Dans les quatre hypothèses (7) à (10), le système reste en équilibre sous l'action d'une force quelconque appliquée en un point M perpendiculairement à la ligne que décrirait ce point dans le déplacement du corps. Le septième cas montre, par exemple, qu'une force quelconque, normale à la trajectoire du point M, est décomposable en cinq forces normales aux cinq surfaces directrices.

145. Dans l'hypothèse (11), le mouvement du solide est dirigé par le glissement de quatre points particuliers sur quatre