APPLICATION DE LA STATIQUE

surfaces fixes. Tous les points décrivent alors en général des surfaces, et l'équilibre a lieu si Ton applique en un point du solide une force normale à la surface décrite par ce point. De cette considération on peut déduire le théorème suivant, dû à M. Mannheim ' :

Les quatre points A, B, C,D d*un corps solide sont assujettis à se mouvoir sur des surfaces fixes (a), (g), (y), (5) ; en général, le lieu d'un point quelconque E du solide est alors une dnqmème mrface déterminée (e). Considérons les normales kk\ BB^CC, DD% EE' menées à ces cinq surfaces par les positions occupées simultanément par les points A, B, C, D,. E. Les deux droites k et X', qui rencontrent les quatre premières normales^ rencantreront aussi la cinquième.

Nous pouvons regarder les quatre surfaces données comme des surfaces directrices matérielles sans frottement, et la cinquième (e) comme le lieu géométrique du point E. En vertu du théorème du travail virtuel, le système sera en équilibredans la position qu'on lui attribue, si nous lui appliquons, au point E, une force normale à la surface (e) ; la force F est alors tenue en équilibre par les réactions normales des surfaces données. Donc la somme des moments de la force F et des quatre réactions est égale a zéro par rapport à un axe quelconque ; et si Ton pi*end pour axe la ligne X, ou la ligne X', pour lesquelles les moments des réactions sont nuls, le moment de la force F sera également nul pour toutes deux, et par suite la direction EE' de cette force rencontre à la fois les droites X et X'.

Connaissant les normales en A, B, C, D aux quatre surfaces directrices, on aura la normale à la surface décrite par un

* Journal de V École polytechnique ^ 1870.

A LA GINfiMATIQUS. Si7

cinquième point E, en menant par ce point une droite EE', qui rencontre les deux droites X et X'.

On voit que, quel que soit le mouvement infiniment petit, îaiprimé au corps, il tourne à la fois autour des deux axes fixes X et X', qui se trouvent ainsi jouer le rôle d'are* de rotation conjugués (I, §157). Chaque point de lun des axes tournant seulement autour de l'autre, décrit, dans le déplacement élémentaire, un élément de circonférence qui a son centre sur Taxe conjugué; de sorte que les points situés sur les droites X et X', au lieu d'être assujettis à glisser sur des surfaces, comme les autres points du corps, sont assujettis à décrire, pendant un temps infiniment court, des éléments de trajectoire.

146. De l'hypothèse (12) on déduirait, par la même méthode, le théorème suivant :

Le point A (f uti corps solide est assujetti à se mouvoir sur une ligne fixe (a), et les deux points B et C à se mouvoir sur des surfaces fixes (0), (y). Le Heu d'un quatrième point D est^ en général^ une surface déterminée (8). Si par le ifoint A nous menons une droite rencontrant les deux normales aux surfaces (0) et (y), menées par les points B et C, cette droite rencontrera aussi la normale à la surface (S), menée au point D; et si F on fait glisser une droite sur les normales aux trois surfaces (0), (y), {l)y l'hyperboloide ainsi engendré coupera suivant une droite le plan normal ? à la trajectoire (a), mené au point A. Cette droite représente la direction de la réaction de la ligne (a).

Proposons-nous de construire la normale DD" à la surface (3) au point D (fig. 127).

Par le point A, menons la droite AM, rencontrant les deux droites BB', CC% normales aux surfaces (0), (y). La normale DF sera comprise dans le plan DAM.

On sait de plus que Thyperboloîde engendré par une droite mobile glissant sur les trois droites DD',BB', CC, coupe le plan normal P suivant une droite passant au point A. Le point D appartient à la surface de cet hyperboloîde. Parce point, menons ane droite DN rencontrant les directions BB',CC'. La droite DN

218 ËQUILIBRE D'UN SOLIDE

sera fout entière sur la surface de Thyperboloîde. Elle perce le plan PP en un point A\ qu'on joindra au point A. Ia droite AA^ sera Tintersection de i'hyperboloîde avec le plan P, et sera

par suite l'une des génératrices rectilignes de Thyperboloide.On peut donc concevoir cette surface comme engendrée par le glissement d une droite qui s'appuierait sur les trois directrices AA^BB^CC^ Il suffit par conséquent,pour ^*»- **^- achever la solution, de con-

struire une troisième droite EF, rencontrant à la fois ces trois directrices, puis de mener par le point D une droite W qui rencontre les deux droites AM et EF.

Dans les hypothèses (13), (14) et (15), les normales aux lieux décrits par les divers points du corps sont immédiatement connues.

ÉQUILIBRE d'un SOLIDE DONT UN, DEUX OU TROIS POINTS SONT ASSU- JETTIS A GLISSER SANS FROTTEMENT SUR UNE SURFACE FIXE.

147. Les résultats obtenus (§ 91) pour l'équilibre d'un solide posé sur un plan peuvent être généralisés en remplaçant le plan par une surface quelconque.

I. Si le solide touche la surface en un point unique 0, il faut et il suffit pour l'équilibre que les forces appliquées au corps soient réductibles à une force unique, passant par le point 0, et normale à la surface.

If. Supposons que le solide touche la surface en deux points A et B. Les réactions (A) et (B) de la surface en ces points seront dirigées suivant les normales aux points A et B ; et ces deux forces, dont les directions seules sont déterminées, doivent faire équilibre au système des forces données. Il faut et il suffit par conséquent pour Téquilibre que les forces don-