S40 ATTRACTION D'UNE COUCHE SPHÉRIQUE

Or la différenlielle de 01 est donnée sur la figure par la différence or — 01= U'. On a donc

et comme El' est la projection sur la direction AM' de la droite finie ML, laquelle fait avec cette direction un angle infiniment petit, on a, aux infiniment petits du second ordre prés, ML=KI'. Donc enfin

Mettons cette valeur à la place de la seconde parenthèse dans l'équation (5), et nous aurons l'égalité beaucoup plus simple

(7) H=^"^y^x(Ll + KMO.

Il ne reste plus qu'à faire la somme des valeurs de H pour toutes les zones infiniment petites dans lesquelles on peut décomposer la surface sphérique, c'est-à-dire à faire la somme des quantités LI et KM', qui seules varient de Tune à l'autre. Or remarquons que KM' est la différence des droites AM', AM, menées du point A aux deux extrémités de l'arc qui engendre la zone considérée. De même LI est la différence des droites AI, AI', menées du même point A aux deux extrémités de l'arc IT, que les mêmes directions interceptent sur la circonférence OFÀ. La somme des quantités KM', pour un certain arc fini BM de la demi-circonférence BC, sera donc égale à la différence, AM — AB, des distances du point A aux deux extrémités de cet arc, et la somme correspondante des quantités LI donnera la différence, AO — AI, dçs distances du point A aux deux extrémités, 0 et 1, de l'arc 01 qui correspond à l'arc BM sur la circonférence OFA.

Cette circonférence OFA coupe la circonférence BFC au point de contact, F, de la tangente issue du point A. L'attrac-

SUR m POINT EXTERIEUR. Ui

tron exercée sur le point A par la zone FBF% située à gauche du plan YF\ a donc pour mesure

H' = ^Jî/î!^X(AP«AB + A0-AF) = 2!î^^

de même l'attraction exercée sur le point A par la zone FCF', qui complète la sphère, a pour mesure

H,^«J5e«P><R^^^C-AF+AP-AO) = H2^^

ûr Or

Donc H' = H''.

L'attraction de la sphère entière est la somme H' + W\ ou bien 2H', ou enfin

4ff/>ft^xR* a»

Pour la sphère entière, la somme de tous les éléments KM est égale au diamètre, tandis que la somme des éléments U, qui sont positifs pour toute la zone BF, et négatifs pour toute la zone FC, se réduit â zéro.

L'expression ' ^, peut s'écrire de la manière sui-

Tante :

" ^(4itR«Xp)Xm

Or la surface de la couche sphérique a pour mesure 4icR'. Le produit de celte surface par p est la quantité totale de malière contenue dans la couche; si on appelle H cette quantité, l'attraction a pour mesure

/Vm "■^'

c'est-à-dire qu'elle est égale à Tattraction exercée sur la molécule A par une molécule contenant la quantité M de matière, placée au centre 0 de la couche sphérique. En d'autres termes, uiie couche sphérique homogène exerce sur un point matériel extérieur la mime attraction que si toute la matière formant cette coudie était concentrée en son centre. On peut en dire autant de chacune des couches sphériques

n. ^ Mie. COUHSHOV. 16