DES SPHÈRES HOMOGÈNES

la surface de cette sphère, est extérieur aux dilTérentes couches dont on peut la regarder comme formée. Il est, au contraire, situé à Tintérieur de toutes les couches sphériques remplissant l'intervalle compris entre la sphère AO et la sphère OB, et par suite ces couches n'exercent pas d'action sur lui (g 160). La sphère OA agit sur le point A comme si toute sa matière était réunie en son centre; or son

\olume est ? «o^; la quantité de matière qu'elle renferme est

et Tattraction exercée par un point ayant cette quantité de matière, et placé au point 0, est donnée par la formule

^ = ^vfpmx.

Nous prendrons donc au point A une ordonnée AD= s r^f^mx ,

et nous obtiendrons le point D qui appartiendra au lieu. La même formule s'applique à toutes les positions que peut recevoir le point attiré sur le rayon OB; à la limite, quand il est placé en B, il suffira de faire a; = R, rayon de la sphère, et on aura pour l'atlraction correspondante

Cette quantité est représentée sur la figure par l'ordonnée BE. Les ordonnées AD, BE, sont proportionnelles aux abscisses OA, OB, et par suite le lieu cherché est une droite OE. Mais cette droite ne doit pas être prolongée au delà de l'ordonnée BE, car la loi d'attraction change quand le point matériel est en dehors de la sphère.

Supposons ensuite x> R ; le point attiré occupe une position A^ Il est en dehors de toutes les couches sphériques matérielles ; par conséquent, toute la matière de la sphère agit

SJ2 ATTRACTION

comme si elle était concealrée au point 0. L'attraction est donc représentée par

quantité qui décroit indéfiniment à mesure que x augmente, et qui est représentée par les ordonnées décroissantes de la courbe EF^ asymptote à Taxe AX.

166. Cette théorie trouve son application dans Tétudede la pesanteur. La terre est à peu près sphérique. L'attraction qu'elle exerce sur un corps quelconque est donc à peu près dirigée vers son propre centre, et elle décroit à mesure que ce corps s*éloigney proportionnellement à l'inverse du carré de sa distance à ce point. Mais le mouvement de rotation de la terre altère ces résultats; le poids d'un corps n'est pas seulement dû à l'attraction de la terre, il subit aussi en grandeur et en direction l'influence du mouvement diurne; sous cette même influence, la terre ne peut conserver la forme sphérique, et prend une forme ellipsoïdale. De là un nouveau problème à résoudre, le problème de Vattraetion des ellipsoïdes, qui est beaucoup plus compliqué que celui de Tatlraction des sphères, et dont nous ne nous occuperons pas ici. U nous suffit d'indiquer que le poids d'un corps est une véritable résultante de deux actions principales, savoir : Patlraction terrestre, et une force fictive due à la rotation du globe, et qu'il a pour direction la verticale^ droite normale à la surface de l'ellipsoïde terrestre.

Si deux systèmes matériels sont situés à une distance extrêmement grande par rapport à leurs dimensions, les actions attractives exercées par les molécules de Tun sur les molécules de l'autre sont sensiblement parallèles, et proportionnelles aux quantités de matière de ces molécules; les distances sont en effet à peu près égales pour tous les groupes de molécules prises deux à deux d'un système à l'autre. Dans ce cas, l'attraction subie par l'un des systèmes peut être assimilée à la pesan* teur : toutes les forces appliquées aux divers points matërieb

DES SYSTÈUES MATÉRIELS. 255

de l'un de ces systèmes sont parallèles et proportionnelles aux poids de ces points matériels. Elles se composent donc toutes en une force unique, qui représente le poids total du système, et qui est appliquée en son centre de gravité. On peut donc dire encore, mais seulement à titre d'approximation, que deux systèmes matériels très éloignés Vun de Vautre s* attirent comme si la matière de chacun d^eux était concentrée en son centre de gravUé.Ceile proposition n'est rigoureuse que pour les systèmes de forme sphérique, composés de couches concentriques homogènes.

ACTION EXERCÉE PAR UN POINT MATÉRIEL SUR UNE COUCHE SPHÉRIQUE HOMOGÈNE, LORSQUE l'aTTR ACTION EST SUPPOSÉE PROPORTIONNELLE A LA DISTANCE.

167. Soit A le point attirant. Partageons la couche en une infinité d'éléments égaux ; soit M un des éléments, \k la quantité de matière qu'il contient, et qui est la même pour tous, en Tertu de Thomogénéité ; appelons m la quantité de matière contenue dans le point attirant; Tattraction MP exercée par le point A sur le point M sera représentée par le produit

/în/A X AM,

et elle s'exercera de M vers A. ''**• ***•

On peut la décomposer en deux forces, Tune MN, dirigée

de M vers le centre 0 de la sphère, l'autre, MQ, parallèle à OA ;

il suffit pour cela d'achever le parallélogramme MNPQ dont MP

est la diagonale.

Le triangle MNP est semblable au triangle MOA; on aura

donc pour les valeurs des composantes :

MN=/m/iXM0, MQ = PN = /iii/*xA0.

Les deux composantes sont ainsi constantes, pour tous les éléments égaux de la couche sphérique.