iÎL±£tV±:j

Remarque L— Si l'on multiplie par un même nombre i les 3n coordonnées des n points donnés, les coordonnées du centre de gravité de ces n points sont multipliées par ce nombre k. En multipliant, les trois coordonnées 0^, (a, ak d'un point A par un même nombre fc, on obtient les coordonnées 06', b'a\ a'k' d'un second point A', situé sur la droite OA, à une distance OA' du point 0 égale à OAxJk. Par conséquent, la figure que Ton obtient en multipliant par un même nombre les 3n coordonnées des points donnés, est une figure semblable à la figure donnée, et k est

le rapport de similitude; les coordonnées du centre de gravité sont multipliées par le même nombre ; donc le centre de gravité de la seconde figure est le point homologue du centre de gravité de la première, et dans des figures semblables (les poids des points homologues étatit les mêmes, ou variant d'une figure à Vautre dans un même rapport) les centres de gravité sont des points homologues (cf. g 139).

Remarque IL — Considérons séparément les deux premières équations. Elles font connaître les coordonnées X et Y du centre de gravité des points p^, p^v-Pn» projetés en conservant leurs poids sur le plan XOY. Donc le centre de gravité de la projection d'un système donné sur un plan est la projection du centre de gravité de ce système. 11 en est de même de la projection du système sur une droite: chacune des équations, prise isolément, le démontre.

Pig. 143.

Ul

169. Lorsqu'on a à déterminer le centre de gravité d'un système matériel continu, tel qu'un corps solide renfermant un nombre indéflni de molécules, les sommes précédentes se composent d'une infinité de termes, et se changent en intégrales. On peut procéder, par exemple, de la manière suivante.

Soit A le solide donné; prenons trois axes rectangulaires, OX, OT, OZ, et décomposons le corps en éléments infiniment petits dans les trois sens, par une triple série de plans parallèles aux axes, menés à des distances infiniment petites les uns des autres. Tout élément a, sauf ceux qui sont voisins de la surface terminale du corps, et qu'on peut soit négliger, soit compléter, sans altérer les sommes cherchées, a pour volume le produit dxdydz; soitp le poids de runité de volume au point a, poids qui est constant lorsque le corps est homogène, et qui est supposé connu en fonction des coordonnées Xy y, % du point a, dans le cas contraire. Le poids de Télément sera

fidxdydz,

et par suite les coordonnées Ç, ï), Ç du centre de gravité seront données par les trois équations :

f SSSpxdxdy<h

^^ SJJf^dydz*

^-.SSJpydxdydz .

SSJpdaMydz* ^SSfpzdxdydz

SSipdxdydz'

Les limites des intégrations sont celles qui correspondent à la surface terminale du corps, de manière à prendre tous les éléments matériels compris sous cette surface, et à ne prendre que ces éléments.

n. — «£c. coui6iio>. 17

Wg. ii4.

On pourra commencer par intégrer par rapport à 2, en laissant x et y constants. Les valeurs de x et de |f définissent un point o) du plan XOY, et une parallèle iùa, à Taxe OZ. Cette parallèle coupe généralement la surface terminale du corps en deux points ^ et y^ qui sont définis par deux valeurs 2' et / de l'ordonnée z; ces deux valeurs sont des fonctions connues de x et de y. Les intégrales une fois faites s'appliquent à la partie du système comprise dans l'élément prismatique Py> 6t ne contiennent plus que les variables x et y. On fera la seconde intégration par rapport à y, en traitant x comme une constante; cela revient à faire varier y du point p au point g, entre des limites y', y^^ qui sont fonctions dex seul. Enfin, on intégrera par rapport à x la fonction résultante» entre les limites correspondantes aux parallèles mm\ mi', menées à Taxe OY, tangentiellement au contour de la projection MN, c est-à-dire entre deux limites constantes, a et b. On peut indiquer ces diverses opérations successives en écrivant les équations sous la forme suivante :

xdx I dy I pdz

dx dy \ pdz

/x = b /•y^lT /»»=a;*

àx I ydy I pdz

x = a •/ y = y* *^ 3=ae

fa'"/'/'/','''

170. Des méthodes analogues peuvent être suivies pour déterminer le centre de gravité d'une aire matérielle terminée à un contour donné, ou d'une ligne matérielle finie, terminée en deux points donnés. S'il s'agit d'une surface plane, on

partagera Taire dont on cherche le centre de gravité en bandes par des plans parallèles infiniment rapprochés, et on aura à faire plusieurs quadratures, l'une pour obtenir la somme des surfaces élémentaires, les autres pour obtenir la somme des produits de ces surfaces par leurs distances respectives à des plans fixes. S'il sagit d'une ligne, on la partagera en tronçons infiniment petits, et on procédera de la même manière.

Les coordonnées du centre de gravité d'une surface rapportée à des coordonnées rectangulaires sont données par les formules :

SJpdJcdyy/ÏTp^^fq^ '

ri

SSpdxdyy/\+p*+q*

^ SSpzdxdy s/Ta- p* 4- g*

SSpdxdys/i+p*^q*'

dz où p désigne la dérivée partielle, ^ , de s par rapport à x, et

q la dérivée, ^f par rapport à y. Les intégrales doubles sont

limitées au périmètre de l'aire dont il s'agit.

171. Prenons pour exemple la recherche du centre de gravité d'un triangle homogène, OAB (fig. 145).

Du point 0, abaissons OX perpendiculaire sur le côté AB du triangle, puis menons 0¥ parallèle à ce même côté. Nous prendrons pour axes les droites OX et OY. Soit 0? = h la distance de la base ÂB du triangle à lorigine 0. Prenons les moments par rapport à l'axe OY, ce qui nous fournira la valeur de l'abscisse X du centre de gravité cherché.

Pour cela décomposons la surface du triangle en bandes, mnn'm\ infiniment étroites, par une série de droites équidistantes, menées parallèlement à l'axe OY. L'aire élémentaire de l'une de ces bandes est exprimée par le produit mnxdXj le facteur dx représentant la distance des deux

droites inGhimem rapprochées mn^ m'n'. Or OM=ap, et les triangles semblables Omn, OAB, nous donnent la proportion

mn __ OM __ a; AB ""OP^S*

hx

On a donc mn = -r- » fc désignant la base AB. Prenant les moments par rapport au plan OY, il viendra

hx

XdxXx

Le centre de gravité du triangle OAB est donc situé sur une droite menée parallèlement à la base AB, aux deux tiers de la hauteur OP.

On peut prendre un autre côté OB pour la base du triangle. La formule s^appliquant encore, le centre se trouvera sur une droite menée parallèlement à OB, aux deux tiers de la distance du sommet opposé A à cette base : ces deux droites se couperont au point cherché. De là résulte la construction suivante (fig. 146) :

Partageons chacun des trois côtés OA, AB, BO, en trois parties égales^ aux points \ , b, ," pour le premier ^ O4, o„ pour le second^ a^ et a, pour le troisième; les indices sont distribués sur le périmètre du triangle en suivant ce périmètre dans un même sens. Cela posé, les trois droites b^o,, o^a,, a^b,, se coupent en un même point 6, qui est le centre de gravité du triangle.

U est facile de reconnaître que ce point est le point decon-

DE GRAVITÉ. 26f

cours des trois médianes, ou des droites menées de chacun des sommets au milieu du côté opposé; nous le démontrerons directement tout à l'heure.