CENTRE DE 6RAY1TÊ DU PRISME DROIT HOHOGÈIŒ

n2. Soit AB un prisme droit homogène, terminé en A et B à deux plans perpendiculaires à ses arêtes. Le centre de gravité de ce prisme sera situé dans le plan MN mené à égale distance des plans des bases A et B.

Cette proposition résulte immédiatement de la symétrie du système par rapport au plan MN. On peut aussi la vérifier en décomposant le prisme en une infinité d'éléments matériels infiniment petits, qu'on supposera sollicités par des forces parallèles entre elles et au plan MN, et proportionnelles à leurs poids respectifs. On prendra ensuite les moments de ces forces par rapport à un axe quelconque tracé dans le plan MN ; la somme des moments sera nécessairement nulle, puisque à chaque force appliquée à un élément pg correspond une force égale et parallèle, appliquée à l'élément symétrique pY» ®t donnant un moment égal en valeur absolue, mais f^ de signe contraire ; ces deux moments se *s^ ^ détruisent donc dans la somme. Le plan MN contient par conséquent le centre de gravité cherché.

Cette conclusion est encore vraie pour un prisme droit non homogène, pourvu que la distribution de matière soitsymé^ trique par rapport au plan moyen MN ; c'est-à-dire pourvu que deux éléments égaux, pq, pY» également distants du plan BÎN, renferment chacun la même quantité de matière.

Corollaire. — Le centre de gravité d^un parallélépipède ree* tangle homogène est à rinteisection de ses trois diagonales.

On peut en effet considérer le parallélépipède rectangle comme un prisme droit ayant pour base une quelconque de

î îî

ses faces ; le centre de gravité se trouve donc à la fois dans les trois plans menés parallèlement aux faces opposées , à égale distance de ces faces, c'est-à-dire au milieu des trois diagonales.

Un rectangle matériel peut être considéré comme la limite d'un parallélépipède rectangle dont une dimension décroit indéfiniment. Le centre de gravité d'un rectangle matériel homogène est donc au point de rencontre de ses deux diagonales.

De même, une droite finie homogène peut être regardée comme la limite d'un rectangle homogène dont une dimension aurait été indéfiniment réduite; le centre de gravité d'une droite finie homogène est donc le milieu de cette droite.

173. Enfin, si un système matériel a un plan de symétrie^ eu égard non-seulement à ses formes et à ses dimensions géométriquesy mais encore à la distribution des quantités de matière réparties entre ses divers éléments^ de telle sorte que deux éléments symétriquement placés renferment (Tégales quantités de matière^ le centre de gravité du système est situé dans le plan de symétrie. Car ce système peut être décomposé en une infinité de prismes droits normaux au plan de symétrie, et dont les centres de gravité sont tous situés dans ce plan. Le centre de gravité de l'ensemble est donc aussi un point du même plan .

Il en est encore de même quand le système a un plan diamétrai, c'est-à-dire un plan qui coupe en deux parties égales les droites de jonction des éléments correspondants pris deux à deux.

Corollaires. — 1" Le centre de gravité d'une sphère homogène, ou formée de couches concentriques homogènes, est son centre de figure.

2"" 11 en est de même pour un ellipsoïde homogène.

3"* Le centre de gravité d'un corps de révolution est situé sur sim axe.

4^ Le centre de gravité d'un cercle homogène ou d'une ellipse homogène est situé au centre de figure. 11 en est de même du centre de gravité d'une circonférence homogène, ou du périmètre d'une ellipse.

DE GUWITÊ. 262

Ces derniers exemples montrent en même temps que le centre de gravité d'un système matériel peut être un. point géométrique en dehors de l'espace occupé par ce système.

Considérons par exemple le solide engendré par la révolution d'un cercle autour d'une droite menée dans son plan en dehors de ce cercle. Ce solide reçoit le nom de tore. Le centre de gravité d'un tore homogène est le centre du tore, c'est-àdire le pied de la perpendiculaire abaissée du centre du cercle générateur sur l'axe de révolution. Ce point est en dehors de l'épaisseur du solide.

5^ Le centre de gravité d'un polygone régulier homogène, quel que soit le nombre de ses côtés, est le centre du cercle circonscrit au polygone.

CEKTRE DE GRAVÎTÉ DU TRIANGLE ET DES POLTCONES.

174. Soit ABC un triangle homogène. Partageons-le en bandes infiniment minces, en menant une série de droites parallèles au côté BC. Nous pouvons regarder l'une quelconque de ces bandes, mm'n!n\ comme un rectangle infiniment mince : ce rectangle étant homogène par hypothèse, son centre de gravité est au point I, intersection de ses diagonales. A la a ^ limite, quand l'épaisseur du rectangle devient infiniment petite, le centre de gravité se confond avec le milieu de la dimension mn. p.

Tous les milieux des droites parallèles mn^ inscrites dans le triangle, sont situés sur une même droite AD, menée du sommet A au milieu D du côté opposé. Le centre de gravité du triangle est donc aussi sur cette droite, car, pour l'obtenir, il suffit de composer ensemble les poids respectifs des bandes mm'nn\ appliqués aux milieux des

S64 GENTRB DE GRATITB

diverses droites mn^ c'est-à-dire appliqués aux différents points de la droite AD.

On arrive plus simplement à ce résultat en observant que la droite AB est un diamètre qui divise en deux parties égales les cordes parallèles à la base BC, et les trapèzes infiniment petits mm'n'n.

On connaît donc une droite AD qui contient le centre cherché ; pour achever la solution, on observera que le centre de gravité du triangle se trouve aussi sur la droite BE, menée du sommet B au milieu E du côté opposé. Il est donc situé au point G, intersection de ces deux droites.

On peut aussi avoir recours, pour achever la solution du problème, au principe de la similitude.

Prenons les milieux E et F des côtés AB, AC, et joignons ED, DF, FE. Nous partageons ainsi le triangle donné en quatre triangles égaux entre eux, AEF, FDE, FDB, EDC, et ayant par conséquent une surface égale au quart de la surface du triangle total. Le point K, intersection des droites EF, AD, est le milieu de la droite FE ; prenons les milieux L et M des deux parties BD, DC, de la base. Les centres ^^^ de gravité des quatre triangles partiels -,x^^/ seront respectivement sur les droites ^/^'Tn^' / * AK, DK, FL, EM. Mais dans deux figures A <^g VgH^'^ ^o^ogènes semblables^ les centres de gra- ^^l-^^J ^m ^ont des points homologiLes (g 157, kXT flf-y* Rem.). Soit donc G le centre de gravité ^ du triangle total ; appelons x la distance

AG; pour avoir les centres de gravité ^' des triangles partiels, il suffira de re-

marquer que ces triangles sont semblables au triangle total,

et que le rappport de similitude est ^. Soit AD =2. Le centre

de gravité g du triangle AFE sera situé à une distance kg du

point A égale & ô ^'

Le centre de gravité ^ du triangle EFD sera situé à une dis-