GL KM 2"^^ X
DoncGL=«etGP=y.
m CENTRE DE GRÀYITfi
QUADRaATÈRE PLAN HOMOGÊKE.
177. Décomposons en deux triangles ABD, CBD, en menant la diagonale BD, le quadrilatère donné ABCD. Prenons le milieu I de cette diagonale, et joignons AT, CI. Sur ces droites de
jonction, prenons 13= ^ lA et Igf'= ^ IC. Les points g et ^
seront les centres de gravité des triangles ÂBD, CBD, et le
centre de gravité G du quadrilatère sera situé quelque part sur la droite gg\ laquelle est parallèle à la seconde diagonale AC.
Les deux triangles ABD, CBD ont
une base commune BD ; ils sont donc
"^^^"--....^ \X\ / entre eux comme leurs hauteurs
AH, CE, ou comme les segments AL, f*?' *52. CL, interceptés sur la seconde dia-
gonale AC par la première, ou enfin comme les segments proportionnels 9M, ^M, interceptés par la même diagonale sur la droite g^. Le centre de gravité cherché partage donc la distance gg' en segments dont le rapport, ^,y est égal à l'inverse
du rapport, -^/, des poids appliqués respectivement aux points
Sf etgr.
On a donc
Mais donc enfin
Gg' gil'
Gg-{-Gg' = ff'U + gU^gff;
Gg=:gni et Gg'^gM,
Il suffit, pour obtenir le point G, de porter sur jjf', à partir du point sf, une longueur îfG = j'M, ce qui revient à retourner
DU QUADRILAIEIIE. 261)
bout pour bout la droite gy' sur elle-même. Le point M, intersection de cette droite avec la diagonale BD, passe alors au point G cherché.
1 78. Remarque. — Le point g^.cenlre de gravité du triangle ADB, est situé sur la droite DN qui joint le sommet D au milieu M de la base (fig. 154), et le segment gH est le tiers de la longueur totale DN de cette droite.
Nous pouvons partager le quadrilatère en deux triangles en menant l'autre diagonale AC; nous obtiendrons ainsi deux centres de gravité fj f\ aux tiers des droiles BI', Dl', qui joignent les sommets B et Dau milieu F de cette diagonale. Le centre de gravité du ^**' ^^^
quadrilatère sera situé sur la droite fff'j et par suite il sera au point G, intersection des droiles gg', g'^if'^ ou intersection des diagonales du quadrilatère g^'g'^'.
Mais le point / est situé sur la droite CN, qui joint le sommet G au milieu N de la base AB, dans le triangle CAB, dont le point gf est le centre de gravité. Ng" est le tiers de NC. La droite ffjT, joignant les tiers des deux droiles ND, NC, est parallèle à DC, et égale au tiers de DC. Par la même raison, la droite jf'/ est parallèle à AD et égale au tiers de AD; g' g" est parallèle a AB et égale au tiers de AB ; f'g est parallèle à BC et égale au tiers de RC.
Le quadrilatère g^çff' est donc semblable au quadrilatère ABCD, et semblablement placé; la similitude est inverse, le
rapport de similitude est ^. Le centre de similitude sera le
point de concours des quatre droites, qui joignent les points homologues Cjf, D/, B^", kg. Les diagonales du quadrilatère gfg'if' se couperont mutuellement au centre de gravité du quadrilatère ABCD.
CENTRE DE GRAYTrÉ D'uN POLYGONE PLAN HOMOGÈNE.
179. La recherche du centre de gravité d'un polygone homogène se ramène à celle du centre de gravité du triangle. Soit ABCDE un polygone d'autant de côtés qu'on voudra. Nous le supposerons convexe.
Par un sommet A, menons les diagonales AC, AD, qui partagent la surface du polygone en n— 2 triangles, n étant le nombre des côtés. On peut mesurer la surface de chacun de ces n— 2 triangles; le centre de gravité de chacun deux s'obtient en joignant le point A aux milieux I, ï\ 1%... des côtés qui n'aboutissent pas à ce sommet, et en prenant les points 6, G', G",... aux deux tiers, à partir du point A, des longueurs AI, AI', AI'. Ces points G, G', G"", seront les centres de gravite des triangles. On peut observer qu'ils sont situés à la rencontre des droites AI, AI', AI',... avec un contour polygonal bcde "«• *^- semblable au contour BCDE, et réduit
dans le rapport de 5 à 2, en prenant le point A comme centre de similitude.
On supposera donc aux points G, G', G",... des forces parallèles appliquées, proportionnelles respectivement aux surfaces des triangles ABC, ACD, ADE, et on composera ces forces. Pour cela, menons par le point A dans le plan du polygone deux axes rectangulaires AX, AY. Appelons x^y y^, x,, j/„ a;,, y,,..* les coordonnées respectives des points I, F, P,... milieux des côtés qui n'aboutissent pas au point A ; appelons S^, S^, S,,... les surfaces de chacun des triangles ABC, ACD, ADE, et X, Y, les coordonnées du centre de gravité cherché. Les coordonnées des points G, G', G',... seront égales à
DTJK POLYGONE.
et nous aurons par suite les équations :
^2Sta;,-f-S,g,-f-S5a;5 4-.
3 S^ + Sj-f S5+...
3 S,-fS,-f-Ss+...
CENTRE DE GRAVITÉ d'uNE LIGNE DROITE NON HOMOGÈNE.
180. La recherche du centre de gravite d'une droite finie non homogène revient à la recherche de Tabscisse du centre de gravité d'une aire plane.
Si p est la quantité de matière rapportée à Tunité de longueur, contenue dans la droite au point M, le centre de gra-* rite de la droite s'obtiendra en faisant la somme des produits pxMm et pxMmxAM, et en divisant la seconde somme par la première. Élevons aux différents points de la droite des ordonnées ÂA% MM', BB', égales aux valeurs correspondantes du facteur p en ces points. Nous construirons ainsi une courbe A'M'B', qui pourra être continue ou discontinue, et dont l'aire élémentaire Mmm'M' représentera le produit pxMm, ou la quantité de matière contenue dans l'élément Mm. La formule qui donne le centre de gravité de la droite AB, est donc identique à celle qui donne 1 abscisse du centre de gravité de la surface homogène ABB'A'.
Supposons, par exemple, que le facteur p soit nul au point A, et varie du point A aii point B, proportionnellement à la distance au point A ; alors la ligne dont les ordonnées représentent les valeurs successives de p, est une droite AB', et le centre de gravité G de l'aire ABB' est situé aux deux tiers de la distance AB. Il en est donc de même du centre de gravité g de la droite AB.
Rg. 155.
Kg. 156.
CENTRE DE GRAVITfi
Remarque. — Le centre de gravité d'un système de points ne change pas si on augmente ou diminue les poids de ces points dans un même rapport. Or, augmenter ou diminuer dans un certain rapport le poids p, qui varie d'un point à l'autre de la droite AB, cela revient à augmenter ou à diminuer dans le même rapport les ordonnées de la ligne A'B'; par conséquent les centres de gravité de deux aires planes homogènes, dont les abscisses sont communes et les ordonnées proportionnelles, ont même abscisse. La même proposition a lieu quand les coordonnées sont obliques.
CESmE DE GRAVITÉ D*(JN SEGMENT PARADOUQUE.
181. Soit BAC une parabole, AX son axe, A son sommet, AY la tangente au sommet. On demande le centre de gravité de l'aire homogène comprise entre la courbe et la droite HM', parallèle à AY.
L'équation de la courbe, rapportée aux axes AX, AY, est
Le centre de gravité cherché est sur laieAI; il suCQt de trouver son abscisse Ç. Elle sera donnée par l'équation
Fig. 157.
J'iydx Jydx '
les intégrales étant prises entre les limites x=0 et a? = AP. Soit AP=a.
Pour faciliter les intégrations^ prenons y pour variable indépendante. Il vient
Donc
D'UiN SEGMENT DE PARABOLE.
Syx^x"^
Jyx'?
P- -L Jy^^y
2p Sy^dy
Op
Les limites des intégrations sont ici y =0 et y=:PM=v^2j?a.
et par sulle
Le centre de gravité est donc situé sur AP à une distance du sommet A égale aux trois cinquièmes de la flèche AP du segment donné.
Ce résultat s'applique à tout autre segment de parabole, lors même que Tangle de la corde MM' avec le diamètre conjugué AP ne serait pas droit. Le centre de gravité du segment
HAM' est en G, sur le diamètre AX conjugué
de la corde MM', et AG est égal aux ^ de la
flèche AP mesurée sur ce diamètre. On peut remarquer que le point G, situé sur le diamètre AX, ne change pas de position quand on déforme le segment parabolique en faisant tourner d'un même angle toutes les ordonnées PH, autour de leur pied P, et qu'on les amène a être perpendiculaires à AX. On transforme ainsi le segment oblique MAM' en un segment M^AM'^ qui a le même centre de gravité, et dans lequel la dioite AX est Taxe de In courbe.
Fig. 158.
n. — mtc. ccuicROH.
CESTRB DB GIUYITË
GENTRE DE GRAVITÉ d'uN SEGHENT DE CERCLE*
181. Le centre de gravité G du segment BAC est situé sur le rayon OA qui partage le segment, la corde et Tare BC en deux parties égales. Rapportons le cercle aux axes rectangulaires OX, OY, et prenons les moments par rapport au point 0. L'abscisse Ç du point G sera encore donnée par l'équation
Fig. 158.
Jyxdx * jydx '
Les limites des intégrales sont «=01, et x=OA; nous poserons 01 =w, OA*=R.
On a entre x et y la relation
Donc
et faisant
on est ramené à intégrer — R sin'^df •
Or on a, en faisant abstraction des constantes,
Retranchant membre à membre, il vient
Les limites sont 9= BOA pour a:=m = OI, et 9=0 pour x=R=OA. Appelons a Tangle BOA, moitié de Pangle au centre qui correspond au segment donné. U faut changer le
