D'UN SEGMENT DE CERCLE. S
signe de l'intégrale, et la prendre entre les limites a et 0, ce qui revient à la prendre avec son signe entre les limites 0 et a : Û faut enfm la multiplier par R* :
Pour f = c> Fintëgrale indéfinie deTîent s« — TsinSa» Pour f = 0, eUe derient 0.
La différence est x a — ? sin 2a, qu'il faut multiplier par R On a donc
résultat connu, car il exprime que Taire, 2fydXj du segment BCA, est la différence entre Taire, R*a, du secteur BOCA, et
l'aire, x R* sin2a, du triangle BOG.
Rous avons encore à faire Tintégrale
et à la prendre entre les mêmes limites, â;=m, ^=R.
On l'obtient facilement en prenant y pour variable indépendante.
En eRety
ce qui nous donne xâx = — ydy.
Donc
fonction qu'on doit prendre entre les limites y=IB=^R»— m* pour x=fn, et y= 0 pour x=R.
Le résultat est
Mais nous avons posé m=Rcosa, et par conséquent VR*— tii*=R8ina; Tintégrale définie a donc pour valeur
jR'sin'a*
276 CENTRR DE GRAYITfi
En définitive 9 Tabscisse cherchée Ç est donnée par la formule
A^*« *!>• • o 6«— 3sin2«t
-s vR'sinîa
Four vérifier celte formule, observons qu'elle doit donner ç=0, quand le segment comprend toute la surface du cercle, c'est-à-dire quand a=ic; car alors le centre de gravité est au point 0 ; et c'est en effet ce que le calcul indique. Nous devons de plus avoir Ç=R pour a=0, puisque le segment se ré^ duit au point A, qui est à lui-même son propre centre de gravité. Pour reconnaître ce résultat, remarquons que si a est un infiniment petit du premier ordre, sin' a est un infiniment petit du troisième, et qu'ainsi le dénominateur 6a— 3sin2a doit être lui-même du troisième ordre, pour que la valeur de la fraction puisse être un nombre fini. On a en effet, en développant sin *2a en série.
si„2. = 2.--0g + ^-^^^^^^j^-etc.
et par suite
Ga — osin 2« = ^— etc.,
les termes omis étant tous d'un ordre de petitesse supérieur au troisième.
On a donc
4 sin* g 4sin*a .
6(c — 3sm2« "~ (STp f '
divisant haut et bas par a', puis faisant a=0 pour passer à la limite, on trouve Tunité pour vraie valeur de la fraction.
On parvient au même résultat en prenant les dérivées des deux termes de la fraction, et en supprimant le facteur cona-
D'UiN ARC DE CERCLE.
CEIITRE DE GRATrrÉ d'uIY ARC DE CERCLE HOBIOCÈ^.
182. Le centre de gravité 6 de l'arc homogène BC est situé sur la droite OA qui divise cet arc en deux parties égales, à une distance Ç = 06, qu'il s'agit de déterminer.
Soit B0C = 2a, et OA = R.
La position des différents points m de Tare BC sera définie par Tangle mOA = 0, mesuré dans le sens Am à partir du milieu A de l'arc total. Cet angle variera donc de — a à + a.
L'arc élémentaire mn aura pour me- ^'^* *
sure Rde ; il est à la distance mp=RcosO de Taxe OY élevé au point 0 perpendiculairement à OA. Son moment par rapport au plan profilé en OY est R*cos6d0« et par suite Tabscisse Ç du centre de gravité est donnée par l'équation
R^cosôJO
Le dénominateur n^est autre chose que la longueur de Tare CAB lui-même. Représentons-la par s.
Le numérateur /R'cosOdO est égal à R'sinO, fonction à prendre entre les limites — a et -H a, ce qui donne en définitive 2R*sina, ou bien Rx2Rsina. Or 2Rsina est la longueur de la corde BC. Représentons-la par L
n viendra
La distance du centre de gravité d^un arc de cercle au centre de cet arc est donc le quatrième terme de la proportion
278 CENTRE DE GRÀYITÊ
dont les trois premiers sont la longueur de larCj le rayon et la corde.
On peut aussi conserver à cette équation la forme primitive sous laquelle elle a été obtenue :
ÎR'sina ., ^^ sin«
La recherche du centre de gravité de l'arc de cercle homogène peut se rattacher à Tétude du mouvement circulaire uniforme projeté sur un diamètre fixe (I, g 56). Soit ACB un arc de cercle, dont le centre est au point 0; le rayon OC divise Tare en deux parties . égales ; soit ab la direction d'un diamètre perpendiculaire à ce rayon.
Posons AOC = COB= a.
Imaginons un mobile M partant du point  et parcourant Parc AB jusqu'au point B avec une vitesse constante : soit» la vitesse angulaire du rayon OM. Le mouvement de la projection m du point mobile M sera défini par Péquation
en supposant qu'on compte les distances â;=Om à partir du point 0, et les temps t à partir de l'heure du passage du mobile au point C ; les valeurs négatives de x et de I correspondront au parcours de Tare AC.
La vilCiise v du point m, est égale à
dx i' =-.^ = R«»cos«)< = e«y,
en appelant y Tordonnée Mm.
La vitesse moyenne (I, g 289) du point m dans le trajet ab est égale à la moyenne de toutes les vitesses v, ou au produit de (i) par la moyenne de toutes les ordonnées y de Tare homogène AB, ou enfin au produit tùy^ de la vitesse angulaire par l'ordonnée y^ = OG du centre de gravité G de l'arc AB,
Fig. 161.
D'un autre côté, cette vitesse moyenne est égale à la longueur ofr, divisée par la durée T du trajet. Ce temps T est double du temps que le mobile M met à aller
2a de C en B, c'est-à-dire il est égal à —•
On a donc Tégalité
ou bien
ab
ab AB
Multiplions haut et bas par R, rayon du cercle ; il viendra
RXAB RXAB
yi=-
2Ra
arcAB
formule identique à celle que nous venons de trouver par une autre méthode.
485. Remarque. — Si Ton considère sur la circonférence (fig. 162) une série d'arcs AB, commençant tous en un point fixe A, et terminés en un point B variable, on pourra construire le centre de gravité de chacun d'eux; il se trouvera sur la bissectrice OC de l'angle au centre correspondant, à une distance 06 =Ç donnée par la formule* On obtiendra ainsi un lieu géométrique qui passe au point A et au point 0, et qui peut se prolonger indéfiniment en considérant deis arcs plus grands que la circonférence. Si 6 est le centre de gravité de l'arc AB, il est facile de voir que la droite B6 est tangente au lieu géométrique au point 6. En effet, pour passer du centre de gravité G de Tare AB au centre de gravité 6' de l'arc AB', infiniment peu différent de l'arc AB, il suffit de composer le poids de Tare
Fig. 1C2.
AB, appliqué en G, avec le poids de l'arc BB' appliqué au milieu de Tare BB' ; le centre de gravité 6' est donc sur la droite qui joint le point G au milieu de l'arc infiniment petit BB', c'est-à-dire à la limite, sur la droite GB. Cette propriété est générale et appartient à tous les lieux géométriques des centres de gravité des arcs de courbe qui ont une extrémité fixe.
Le lieu géométrique des centres de gravité a donc pour tangente au point 0 le rayon OA; car le point 0 est le centre de gravité de la circonférence entière qui se termine au point A.
L'équation du lieu, en coordonnées polaires r = 0G= ç, et e=GOA, sera
sine
La branche AGO correspond aux valeurs de 0 comprises entre 0 et x, c'est-à-dire aux centres de gravité d arcs dont l'angle au centre varie de 0 à 2x. Pour avoir le centre de gravité de l'arc 2zR -+- AB, il faut composer le poids de l'arc 2tJI,
appliqué en 0, avec le poids de .B Tare AB=2ô, appliqué en G, ce
qui donnera sur OG un point 6^, défini par la proportion
0G|arcAB a GiG~ 2icR ""i"
La tangente au point G^ sera la droite G^B.
La courbe fait une infinité de circuits, de plus en plus resserrés; chacun passe par le point 0, et touche en ce point la droite OA.
Nous nous arrêterons un inslant à étudier les piopriétés géométriques de cette courbe.
Fig. 163.
TRCPRIÉTÉS GÉOHÉTRIQUES DU LIEU DES CENTRES DE GRÀTITÉ DES ARCS DE CERCLE.
184. Soit (fig. 164) AGEO la courbe, lieu des centres degra- Tilé des arcs comptés sur la circonférence AB à partir du point A. Un point G, pris sur la courbe, est le centre de gravité de l'arc AB, double de Tare AM, qui se termine à la rencontre de la circonférence et du rayon 06.
Par le point I, milieu de OG, élevons sur OG une perpendiculaire 10% qui coupe en 0' la direction OE, perpendiculaire à OA ; du point 0' comme centre avec O'O pour rayon décrivons un arc de cercle, qui touchera en 0 le rayon OA, et qui passera par le point G. Je dis que la longueur de Tare OG est égale au rayon du cercle donné.
En effet,
0G = 0AXÎ!^^
^ Fig. 164.
en appelant 6 l'angle AOM. Le rayon CO de Tare 06 est égal à
jk
ou à
cosO'UG'
