OA
stnO
La longueur de l'arc OG s'obtiendra en multipliant le rayon O'O par l'angle au centre OO'G, qui est égal à 26 ; elle est
donc égale à ^ x 26, ou à OA.
Corollaires. — 1* La demi-circonférence décrite sur OE
GooQk
283 COURBB DES CENTRES DE GRÀYlTfi
comme diamètre a une longueur égale à OA ; et par suite le point E appartient à une cycloïde dont la distance AA' serait la base.
T Si l'on prend le milieu F de OE, et qu'on décrive une circonférence sur OF comme diamètre, cette circonférence sera osculatrice au point 0 à la branche EO du lieu des centres de gravité.
185. Conslr\u:ti(m mécanique de la courbe. — Une lame élastique infiniment mince, de section uniforme, solidement encastrée dans un mur à une de ses extrémités, et fléchie par un couple appliqué à son extrémité libre, se courbe suivant un arc de cercle dans la région comprise entre l'encastrement et le point d'application de la force la plus voisine ; cette déformation n'entraîne aucune altération de longueur de la fibre moyenne entre les mêmes points.
On peut utiliser cette propriété pour le tracé mécanique de la courbe AGE.
Fixons dans un étau, au point 0, une lame élastique de section constante qui, dans sa forme naturelle, coïncidera avec la droite OA. Appliquons à cette lame, au delà du point A auquel on veut faire décrire la courbe, deux forces parallèles, égales et contraires. La lamé se courbera, et prendra, dans la région OA, une courbure proportionnelle au moment du couple ainsi formé. Nous pourrons par con» séquent, en faisant croître le moment du couple, donner à la lame une courbure graduellement croissante, et tant que la limite d'élasticité ne sera pas atteinte, la ligne dessinée à chaque instant par la région OA de la lame sera un arc de cercle qui aura son centre sur la droite OE, normale à la direction OA de l'encastrement, et dont la longueur sera égale à la longueur primitive OA de la lame élastique. L'arc OG étant l'un de ces arcs de cercle, le lieu décrit par le point A dans ces déformations successives est la courbe AGE.
186. Des propriétés connues des centres de gravité on peut déduire certaines formules de trigonométrie.
1^ Soit G le centre de gravité de l'arc AB, situé sur la bissectrice de langle AOB.
Soient G', G' les centres de gravité des deux moitiés lA, IB, de Tare AB. Ces deux nouveaux points seront situés sur les bissectrices OF, Or des deux moitiés de l'angle, et la droite G'G' passera au point G et y sera divisée en deux parties égales. La symétrie exige d'ailleurs que Tangle OGG' soit droit. Donc, étant donné le centre de gravité 6 d'un arc AB, on obtiendra le centre de gravité de sa moitié Al en élevant en G sur OG une perpendiculaire qui coupera au point cherché la bissectrice de rangle GOA. ^'^' ^^'
Le point G' appartient è la courbe lieu des centres de gravité des arcs issus du point A. Par conséquent, si r est la distance OG, et r' la distance 0G% correspondante à un arc moitié moindre, 0 étant Tangle GOA, on aura à la fois
. 0' sin 0 , 2
et le triangle OGG' donnera
COSJ
De ces trois équations on déduit la formule connue
0 6 8in9 = 38iii^co8^«
2* On passe du rayon r au rayon r' en divisant le premier par cos 5 ; de même on passera du rayon r* au rayon r*, cor-
respondant à un angle -.^ en divisant par cos t , et on peut
pousser aussi loin qu'on voudra cette déduction. A la limite, on parviendra au rayon qui correspond au centre de gravité
d'un arc infiniment petit, c'est-à-dire au rayon a du cercle donné. On a donc Tëqualion
a = lim -
COSsCOSjCOS-g .
ou, en remplaçant r par sa valeur a
sinO
sin 0 ,. /
COS-COSjCOSg..
pour n infini.
De la on déduit une manière de trouver le rapport de la circonférence au diamètre. La courbe coupe la droite OE en un point E, centre de gravité de la demicirconférence, situé à une distance OË du
centre égale à
. Élevant en E sur OE la
perpendiculaire EF, jusqu'à la rencontre
du rayon OF qui divise Tangle droit
Fj?- iW- gu Jg^3^ parties égales, on aura le centre
de gravité, F, du quart de la circonférence, puis, en répétant
la même construction, le centre de gravité, 6, du huitième de
la circonférence, le centre, H, du seizième^ etc. Donc
a = lim — X — r 9
COSjCOSgCOS/g...
et par suite
ir
COS|COS jCOSj^...
Chacun des facteurs du dénominateur peut être calculé ^ 1 apriori. On a en effet cos ^=:— , et, pour trouver les autres
cosinus, on appliquera la formule générale
DES âRCS de cercle.
La série devient très convergente dès qu'on atteint des arcs sufBsamment petits par les bissections successives. Si. l'on
faille calcul, par exemple, jusqu'au facteur cos ^^, correspondant à un angle au centre de 10' SS^^S, on trouvera très rapidement, en s'aidant des logarithmes, la valeur suivante, dont les six décimales sont exactes : ic==3,141592.
S"" Partageons l'arc AB, correspondant à un angle au centre 20, en n parties égales aux points 1 ^ 2,... n — 1 ; prenons les centres de gravité de chacune de ces u'*"** parties, et cherchons le centfe de gravité de l'ensemble, ou de Tare total AB. Il suffira pour cela, puisque toutes les parties sont égales, de prendre Iq moyenne arithmétique des coordonnées des centres de gravité de chacune.
Soient, d'une manière générale, x^^ y^ les coordonnées du centre de gravité de l'arc compris entre les points k — 1 et t, et X, Y les coordonnées du centre de gravité général, ces coordoimées étant rapportées aux axes rectangulaires OA, OY; il viendra, en appliquant les formules :
Fig. 167.
sin0 .
sinO . ^
sin 0 a:t==a-^co8ûO,
sinû . ,.
SÎnO ejft
ars=sfl-j-cos5d.
xu=a -—-cos (2n - 1) 0. yn^^a—- sin(2/i — i)a.
Donc
X = ^'"^""^** = ^!^(co8e+cos3g + co85g + ..'-f-co8(2«-^)g)*
ne
Il nO
286 COURBE DES CENTRES DE GRATUfe
Hais on a d'un autre côté, toujours en vertu des mêmes formules,
a sin nO Xs= -— cosiid,
Y = r— smn9.
nB
Comparant ces deux groupes, on en déduit les relations suivantes :
sinn9co8fi0 sin^wg 2siii0 *
COSd + C0s3d -f- C0856 + . . . 4- co* (2« — 1) 0 =: •ina + 8m5fl + 8in5e+...4-Mn(2ji — 1)6
Soit
it par exemple 6 = ^ . . On aura
8in0 •in'ftg 8in6 *
Sitir
cose + cos50 -♦.•..+008(2/1 — 1)0 = î!lLrJi-=i.
2sin
2n-hl
187. La courbe coupe le rayon OK, perpendiculaire à OÂ, en une infinité de points E, E', E%... sans compter le point 0 qui est un point multiple d'un ordre infini, puisque toutes les boucles successives du lieu y passent. Le point E est le centre de gravité de la demi^circonférence, le point E' le centre de gravité de trois demi-circonférences, le point E'' de cinq demi-circonférences, etc. On obtient ces points en faisant successivement
Flg. 168.
In
dans la formule
rssa
sinO 0 '
ce qui donne
ss
etc.;
Les valeurs négatives correspondent aux valeurs de 0 pour lesquelles le rayon prend la direction OK'; elles doivent par
suite être portées comme les autres sur la jxguve dans le sens OK.
Gela posé, la limite de la somme algébrique
est égale à la moitié du rayon OA.
En effet, remplaçant r, r', r",... par leurs valeurs, il vient pour celte somme
« 3ir Sic 7it
■tO-
La série entre parenthèses est le développement connu
de 2 P^^ Ift ^rie de Leibniz; donc la somme est égale à
2a X .a — X 7 ou à -5.
188. Connaissant le centre de gravité d'un arc de cercle, rien n'est plus facile que d'en trouver la longueur. On a, en effet, en appelant s la longueur de Tare, et 0 le demi-angle au centre,
Donc
ftsaX^asinO.
On trouvera la longueur de l'arc en prenant une quatrième proportionnelle à la distance r du centre de gravité au centre, au rayon et à la corde.
Si Ton a, par exemple le centre de gravité E de la demi-circonférence ABA\ on trouvera le développement de l'arc AB en joignant EA^ et en élevant A'S perpendiculaire à EA', jusqu'à la rencontre avec EO prolongé. On a en effet
osxOE=rô*» «s. leo.
288 COUnBE DES CENTRES DE GIUYII2
OU bien •
Donc
OSx?^ = a«.
0S = j = arcAB.
189. Construction de la courbe par points. — La courbe lieu des centres de gravité des arcs issus du point A n'a qu'un seul paramètre, le rayon OA=:=a du cercle. Toutes les courbes qu'on peut obtenir en traitant successivement difTérenls cercles sont donc semblables entre elles, et on peut construire une fois pour toutes une courbe de cette nature, dont on pourra déduire toutes les autres au moyen d'un simple changement d'échelle.
Cette considération permet d'éliminer l'arc 0, et de ramener la construction par points de la courbe type à des opérations algébriques qu'on puisse exécuter avec la règle et le compas.
Ne fixons pas d'avance le rayon a ; soit OX le rayon à partir duquel on compte les arcs sur un cercle indéterminé; donnons-nous un point M de la courbe, sur un rayon OM qui fasse avec la droite OX un petit angle 0 dont on connaisse d'avance le sinus. Menons par le point 0 des droites Oa, Ob, Oc,... qui fassent avec Taxe OX les angles 28, 30, 40,...
Fig. 170. Nous pourrons facilement trouver les
points de la courbe situés sur ces nouveaux rayons. Ne nous occupons, pour plus de simplicité, que des rayons Ofr, Od,... qui font avec OX les angles 30, 50,... égaux aux multiples impairs de 0. Appelons r la distance OM, r, la distance OM,, fg la distance OM,,..., r« la distance correspondante à l'angle nO ; nous aurons à la fois
sin nO
Donc
r» sinnQ
r—nsind*
Mais pour n entier impair on a Téquation d'Euler :
formule qui contient un nombre limité de termes, et dans laquelle on suppose que 0 est le plus petit arc positif rëpon* dant au sinus donné.
Donc
expression qu*on pourra construire.
On trouvera ainsi, par des opérations algébriques, autant de points qu'on voudra de la courbe; ces points seront assez rapprochés pour permettre de la tracer, si Ton est parti d'une valeur de 0 suffisamment petite.
Pour trouver ensuite le rayon a, on appliquera la remarque 2* du g 186, et on aura, avec une approximation aussi grande qu'on le voudra,
COS^COSjCOSg-...
190. Division JCun angle enp + i parties égales. — Supposons qu'on ait tracé la courbe lieu des centres de gravité des arcs issus d'un point A. Soit AM cette ,
courbe. Proposons-nous de prendre sur "">0\
Parc AB, à partir du point A, un arc AG / ^^
égal à la (p-l-1)"* partie de AB. L'arc / ^^^r^-'c^
BC sera teal à AB X — t-t» et les deux i^l^-:rjrrr,7^ i ^ p ■+- 1 0 ; k
arcs ÂC et BC seront entre eux comme *'
1 est à p. ^' "*•
Joignons OC, et menons la bissectrice 01 de l'angle COA.
n. — «<c. GOiufiNoor. 19
Le point g où elle coupe la courbe AM est le centre de gravité de 1 arc AC.
Le centre de gravité de Tare BC s'obtiendra de même, en répétant symétriquement la courbe AM à partir du point B, ce qui donnera une courbe BM', coupant la courbe AM au point G, centre de gravité de Tare total AB. Le centre de gravité de Tare BC sera le point g^, intersection de BM' avec la bissectrice OF.
Il résulte de là que les trois points g, g' et 6 sont situés sur
une même droite, et que le rapport ^ est égal à -.
Donc le point g' est à l'intersection de la courbe BM' et
d'une courbe homothétique à AM, obtenue en prenant le point
G pour centre de similitude inverse, et en faisant le rapport
de similitude égal à -. La courbe ainsi construite sera le lieu
des centres de gravité d'arcs comptés sur le cercle qu'on déduit du cercle OA par la construction de la figure semblable.
Cette construction s'applique notamment à la division du cercle en p + 1 parties égales. Construisons la courbe AEO, lieu des centres de gravité des arcs issus du point A, dans
le sens AB. En répétant cette courbe en AE'O, symétriquement par rapport au rayon OA, nous aurons le lieu des centres de gravité des arcs issus du point A et comptés dans le sens AB'. Par le point 0, menons une droite gOg'j telle que Ton ait
gO p
Pour trouver le point ^^ il suffira de construire une courbe semblable a la courbe AEO, avec
le point 0 pour centre de similitude inverse, et - pour rap-
pari de simililude. Cela revient à décrire un cercle OA* avec
OA un rayon égal à — , et à construire le lieu A*E"0, des centres de gravité des arcs de ce nouveau cercle, issus du point A" et comptés dans le sens A!^". Le point gi sera l'intersection des courbes A'E'^O, OE'A.
La direction Og étant ainsi déterminée, il n'y aura plus qu'à doubler l'arc AI pour avoir en AM Tare cherché, égal à la (p + 1)** partie de la circonférence entière. Car le point g est le centre de gravité de AM ; le point g' est le centre de gravité de l'arc AB'Alf, qui complète la circonférence. Le centre de gravité de la circonférence est au point 0. On a donc
et par conséquent
arcAM 0/l arcAli'A'M "^ 0^ '~p
arcAM
cire. OA p-hl
