D'UN FUSEAU INFINIMENT PETIT
comme pôle. L'aire élémentaire mnn'mf aura pour mesure le produit mm' x mn, et son moment sera mm' x mn xmp. On aura donc
s (tnm'Xmnxmp) * 2(mm'xmn) *
les sommes devant être étendues à toute la surface PÂA'.
Soit P0m=6, POA = a; angle AfX'=d<f; enfin 0P=OA=R.
n viendra
mpsRsinO, mm' = RdO, mn = mpx <2f = Rsindc?^.
Les intégrales devront être prises entre les limites 0=0, e = a:
JJ^*8in$d6df
Le facteur d^ est constant, et disparait, ainsi que le facteur R*; réquation prend la forme
f sm*$dB
Or
s\ned$
Donc enfin
/ sinOtfS =1 — cosa»
4 1 — cosa
S'il s*agit, par exemple, du fuseau entier, qui s étend du pôle P au pôle opposé, on fera a= w, et il viendra
ç = ÎRx|»Rxf.
Il faut bien se souvenir que cette formule suppose le dièdre APÂ'=d9 inflniment petit. S-il s'agissait d un dièdre quelconque, il faudrait prendre le centre de gravité de Parc de cercle formé par les centres de gravité individuels des fuseaux infiniment petits dans lesquels on aurait partagé le fuseau donné.
CENTRE DE GBAVnÉ d'dN YOLUME BOUOGÈNS.
196. Le centre de gravité d'un cylindre homogène, à base circulaire ou elliptique, terminé à deux plans parallèles, est situé au milieu de Taxe du solide, ou de la droite qui joint les centres des bases.
197. Soit SAB un cône homogène; S son sommet, AB sa base, et 6 le centre de gravité de sa base. Si nous menons une infinité de plans équidistants, parallèles à la base, entre le point S et le plan AB, ces plans couperont le cône suivant des sections semblables et semblablement placées par rapport au
point S ; les centres de gravité des
p/ l 1 sections, étant des points homolo-
/ j/%J^ gués, seront tous situés sur la
/ l\ droite SG.
. / / j \ Considérons deux sections voi-
7i!!^^'^^^"^^n' ^^'^^^ *'*"» ^^"^ ®* soient j, ^ /^ — jt^^^\\ leurs centres de gravité. Du points
/ y L^^A abaissons sur le plan AB une per-
a([^ ^^—--^^^ pendiculaire SH, qui sera perpendiculaire aux plans de toutes les
sections. Puis prenons les moments des poids des volumes élémentaires compris entre deux sections consécutives, par rapport à un plan PQ, mené par le point S parallèlement à la base. Appelons B la surface de la base AB, et H la hauteur totale SH. Posons enfin Sfc=a;, distance de la tranche mnn'w! au plan PQ.
D'UN CONE nOMOGËKE. 299
La surface de la section mn sera fournie par la proportion
Elle est égale à -nr * ^^ ^^ volume de la tranche est Bx'dx
Son moment par rapport au plan PQ est
Bx^dz
et la distance Ç du centre de gravité au même plan est par conséquent
Bûfidx ^u H« / x^tfx - iÇj Jo __3
« = — "w — :nî — 7"-
Bx*dz I x^dx
Le centre de gravité du cône est donc situé dans un plan parallèle à la base ÂB, mené à une distance du sommet égale aux trois quarts de la distance du sommet à la base.
D'un autre côté, le centre de gravité d'une tranche élémentaire mnm'n\ réduite à une épaisseur infiniment petite, est infiniment voisin du point g, centre de gravité de la section nrn qui lui sert de base. Les centres de gravité des tranches dans lesquelles on a décomposé le cône sont tous sur la droite S6. Le centre de gravité de Tensemble est donc aussi sur cette droite, et par suite, le point cherché est le point F, pris sur la droite SG, aux trois quarts de la distance SG à partir du point S.
198. Les mêmes raisonnements s'appliquent à la pyramide. Donc : 1* le centre de gravité d'une pyramide quelcotique
hamogine est aux t, à partir du sommetj de la droite qui joint
k sommet au centre de gravit,é de la base; ^ les quatre droites qui, dans un tétraèdre^ joignent les sommets aux centres de gra-
vite des faces opposées, se coupent en un même point, qui est le centre de gravité du tétraèdre, et qui partage chaque ligne de jonction en deux segments dont le rapport est égal au nombre Z.
Il est facile de démontrer aussi que le centre de gravité d*nn tétraèdre homogène colndde avec le centre de gravité de quatre poids égaux, concentrés en ses sommets; comme corollaires de ce théorème, on peut déduire les propositions suivantes : le centre de gravité d*un tétraèdre homogène est au mUieu de la droite qui joint les milieux de deux arêtes opposées, et les trois droites qui joignent les milieux de deux arêtes opposées d^un tétraèdre concourent en un même point, qui les divise chacune en deux parties égales.
De même, le centre de gravité d^un tiiangle homogène coïncide avec le centre de gravité de trois poids égaux concentrés en ses sommets.
CENTRE DE GRAVrTÊ DU TRONC DE PYRAMIDE OU DE CÔR£.
199. 1^ Considérons d'abord un tronc de pyramide triangulaire, compris entre deux plans parallèles ABC, DEF ; les
arêtes DC, BE, AF, prolon-
gées vont se couper en un même point S, sommet de la pyramide entière.
Rappelons la méthode suivie dans la géométrie pour obtenir la mesure du volume du tronc de pyramide. Par un des sommets E de la petite base, on mène deux plans, l'un EAD, passant par la diagonale AD de la face latérale opposée, l'autre EAC, passant par le côté de la grande base appartenant à la même
Plg. 179.
D*UN TRONC DE PYRAMIDE. ZOi
face. Ces deux plans partagent le tronc de pyramide en trois pyramides triangulaires ADEF, EABC, EÂDC; la première a pour base la petite base du tronc; la seconde, la grande base; elles ont toutes deux pour hauteur la hauteur même du tronc ; la troisième peut être transformée, sans altération de son volume, en une pyramide ayant pour base ADC, et pour sommet le pqint K, intersection de Tarète AP avec une parallèle EK menée à Tarète AF ; on peut la considérer comme ayant pour sommet le point D, et pour base le triangle ACK, dont la surface est moyenne proportionnelle entre la grande base et la petite; cette troisième pyramide est donc ramenée à avoir la hauteur du tronc.
Appelons donc H la hauteur du tronc, ou la distance des plans ABC, DEF ; B la grande base, b la petite.
Les trois pyramides auront respectivement pour volumes,
la pyramide ADEF, ^bH,
la pyramide EABC, ^BH,
la pyramide EADC, équivalente à DACK» ^U^h.
Le centre de la première pyramide est à une distance du plan EFD égale à ^H, et à une distance du plan ABC égale à
2H; de même, le centre de la seconde est à des distances des
3 1 mêmes plans respectivement égales à j H et 7 H. Pour le centre de gravité de la troisième, remarquons qu'en vertu d'un corollaire indiqué tout à l'heure (g 198), il est situé au milieu g de la droite IL qui joint les milieux I et L des deux arêtes opposées ED, AC dans le tétraèdre EADC ; il est donc dans le plan mené à égale distance des plans des deux bases, et sa distance à chacun des deux plans est ^11.
La somme des moments des poids des trois pyramides par
rapport au plan EFD est égale au produit du poids total du tronc par la dislance x de son centre de gravité à ce plan, et nous avons l'équation
xxV = ^6HXjH + ^BHXjH-|-ÎHv^X5H
en appelant V, pour abréger, le volume du tronc, égal à
^H (fc H- B -h v/Bft). Le solide étant supposé homogène, nous
avons pu en effet remplacer dans l'équation des moments les poids par les volumes qui leur sont proportionnels. Appelons y la distance du centre de gravité au plan de la base ABC; nous aurons de même
yxVzzr^^HXjHi-lBHXjH-hjHV^XjH = H'(B-t-3ft4-2V^).
Donc
Cette équation fait connaître le rapport des distances du centre de gravité aux plans des bases, et permet par suite de conduire parallèlement à ceux-ci un plan qui contienne le point cherché ; il se trouvera à Tintersection de ce plan avec la droite qui joint les centres de gravité 6, G' des deux bases.
2^ La même formule s'applique à un tronc de pyramide à base quelconque.
Soit ABCDEabcde le tronc de pyramide obtenu en coupant la pyramide SABCDË par un plan abcde parallèle à la base ABCDE.
Construisons dans le plan de la base un triangle HNP équivalent au polygone ABCDE ; puis prenons un point S' dans le plan mené par le sommet S parallèlement au plan de la base. Nous formons ainsi la pyramide S'MNP, dans laquelle le plan
