SA
La hauteur du tronc est la différence h -^ h\
Les distances du centre de gravité aux plans des bases sont respectivement égales à Ç — k' et k — Ç. Enfin
Donc
^ — A^> A»--A^ 5A*— 3V* — 4AW-i-4A-*
'*""4/?irF»
Cette fraction peut se simplifier par la suppression à ses deux termes du facteur commun (h — hy ; il vient en faisant les divisions
|,.A^3A«H-g^'-i-A^ A — {•"A^-HÎAA'^-SA^'
et remplaçant dans les deux termes ainsi simplifiés, qui sont homogènes par rapport à k et h\ les quantités k et k' par les quantités proportionnelles ^ et y/b, on retrouvera la formule déjà obtenue
I— A^ 5BH-2VBg-i-6 A— «""B-+-2V^B5"+36"
O'UM SEGVENT SPHËRIQUE.
CEKTRE DE GRAYITÊ D*UN SEGMENT DE SPHÈRE A UKE BASE.
201. Soit PBA le segment de sphère donné, BA le plan de sa base, P le pôle du petit cercle AB. Le centre de gravité cherché est situé sur la droite OP, à une distance § que nous déterminerons par le théorème des moments.
Prenons les moments par rapport au plan MN conduit par le point 0, perpendiculairement à OP.
Soit
Om = «, ffifi = (22 ;
la tranche infiniment petite pqp'q* a pour mesure
en appelant y l'ordonnée mp du cercle PA. '''-'''
L'équation du cercle est «• -h ï'=R% R étant le rayon OA Donc
Le volume de la tranche est % (R' — x^)dx. L'abscisse Ç du centre de gravité est égale à
yp' m
Al
7r(R« — a:«îdx
ar=0;:
Faisons OG=a; c'est la distance du centre de la sphère au plan AB qui limite le segment :
= îx(2R»-.5R»rt-fa»);
J (R» -a:«)«fa = [h«^ - ^1 = ^ X [(2R» - R*) - {2RV - a^)] 1,
[(R*— 2R«a«4-fl*);
n. — nie Gouicnosi.
et par suite
3 R» — 2RVH-II* ^""Ï2R» — 3R«a-f fl*
Les deux termes de la fraction s'annulent par a=R puisque cette supposition fait évanouir à la fois les deux intégrales; ils admettent donc le facteur commun R — a. Supprimant ce facteur, on trouve une nouvelle fraction dont les deux termes s'annulent encore pour R=a, et qu'on peut simplifier de nouveau parla suppression du Tacteur R — a; et l'on obtient en définitive
Si Ton fait a=0, on obtient le centre de gravité de la moitié de la sphère :
GEKTriE DE GRAVITÉ d'uN SEGHEm' DE PARABOLOÎDE DE RÉVOLUTION.
202. Le parabololde de révolution s'obtient en faisant tourner autour de son axe SA la parabole SMB. On coupe la surface par un plan CAR normal à Taxe, et on demande le centre
de gravité du volume homogène compris entre ce plan et la surface CNSMB.
Le centre de gravité de ce voj.^ B\ lume étant situé sur Taxe SA, il
' suffit de déterminer sa distance
Fig. 182. . ^ c?
au pomt S.
Menons deux plans infiniment voisins NPM, npm^ qui interceptent dans ce volume un élément cylindrique dont la hauteur est Pp, et dont la base est un cercle ayant pour rayon PM. Le volume de ce cylindre est donc wxPM'xPp; nous pouvons, à cause de l'homogënéité, prendre ce volume
D'UN PARÂBOLOlDE DE RÉVOLUTION. SMH
pour la mesure du poids ; le moment, par rapport au point S, sera
wXPPxPpXSP,
ou bien, en faisant SP =«, PM = j, Pp = (te,
Posons SA = a. La distance ^ du centre de gravité au point S s'obtiendra au moyen de l'équation
J-xu^xdx I y^xdx 0 ih
Or l'équation de la parabole est t/'=2|>a;, en appelant p le paramétre de la courbe.
Remplaçons y* par sa valeur; il viendra, en supprimant le facteur commun 2p,
Le volume du segment est d'ailleurs égal à
OU à la moitié du cylindre qui aurait pour base le cercle CB, et pour hauteur SA.
Ces résultats s'étendent sans difficulté au paraboloide dans lequel les sections circulaires CB seraient remplacées par des ellipses.
CESTRE DE GRAVITE
