La cycloïde ABC est le lieu décrit par le point M
ï, d'une circonférence EMD qui roule sans glisser sur la droite AC. Elle est définie par l'équation
arc MD = AD.
' Du point iM abaissons une perpendiculaire MP sur la droite AC, et faisons AP=iC, MP= 9; joignons le point M au centre 0 du cercle générateur, et soit M0D = 6. Appelons R le rayon du cercle. Il viendra
arcMD = AD = R9;
PD est la projection sur AC du rayon MO, qui fait avec AC un angle égal à^ — ^•
x = AD — PD = RO — Rcos^|— oWR(e-6mO).
La longueur MP est égale à la projection sur DE de la corde MD, laquelle a pour longueur 2Rsin a, et fait avec DE un
angle MDE égal à^^-y-î <ïonc
y = 2R8in|x cos^^ - 1) = 2R sîn» 1= R (1 - cosô).
Proposons-nous de trouver le centre de gravité d'un segment ARS compris entre le point A et une ordonnée RS, définie par son abscisse AR=a.
DE U GYGLOlDE. S09
L'abscisse Ç du point cherché sera égale à
Quant à son ordonnée iq, observons que le centre de gravité de Taire élémentaire ydx est au milieu de l'ordonnée y, et que son moment par rapport à AC est égal à \y*dx. On aura donc
Or les équations de la courbe donnent
(2x = R (i ^ cos fl
xydx = ïfl{\ — cos6)«(9 — sînd)<l6, y*if« = R»{l— cosO)»ilO.
Appelons 0' la valeur de 0 qui correspond kx=a; il viendra
/ (1 — co8fl)«(ff — sine)de « = Rt<>
j (1— cos«)*<fa
J(l — cos6)»a6 „J2
Ces diverses intégrales sont faciles à obtenir. Développons les carrés et les produits indiqués :
(1 — cosO)» = 1 — ïcos» -f- cos«0, (1 — cosff)» = 1 — ScosO -f- 3cos«e — cos'O, (i»cos9)*(d— 8in9)=9— SecosO-f-Ocos^tf— Sin9+2cos0sin9 — C08*98in9.
[ 51(^ GENTHE DE GRAVITÉ
I Les intégrales de certains fermes s'obtiainent immédiate-
ment:
/cos0c{e = siiiO,
/smerfô = — cos6, /2 cosO sin BdQ = sin* 9,
/cos^dsiaO({d = — scos^o.
Il reste à trouver /cos'OdO, /cos'OdO, /OcosOde, /Ocos'Sde, Nous avons déjà obtenu (g 181) l'intégrale
Le même calcul donnerait
Pour avoir /cos'ôdô, observons que
cos»d =s cosô X cos»6 = (1 — sin«e) ccsO.
Donc
/ cos* erfd 53 /cos ôda — / sin* ô cos edO = sln 0 — ? sin' 0.
Les intégrales /OcosOdO et /Ocos'OdO s'obtiennent en appliquant le procédé de Vintégration par parties :
JcosBdO X 6 = 0sin 9 — / sin BdB = Osin 6 + costf, /co»«6d0X0 = 0X (|6 + j8in20J— r^i0 + j8in20)rffl
= ^ + j8iu20-Je» + gCO826
= Ç + jsin20 + |cosS0.
Il ne reste plus qu'à réunir ces^ différents termes, après les
DE LA CYCLOlDE. 311
avoir mullipliés par les coefficients convenables ; il vient, en indiquant seulement les limites,
n«»— 2«sjpe— Scosfl+j+jsra2e+|cos2«.4-cos»+sin»»+gco#flj
r«— 2sinO-»-|«H-jSin2dJ e - Ssin 6 4- - d -f. j sm26 — sin9 -hj sîn 36j
fe— 2sin0 + 1« -f- ^siii2fll
Appliquons celte formule à l'aire de la cycloïde entière ABC. Il faudra faire pour cela ô' = !2'ïç.
Faisant dans les intégrales générales 6=0, puis 0=2ic, et retranchant, il vient
ce qui indique que le centre de gravité est situé sur Taxe de symétrie IB ; et
valeur qui définit le point G, aux | de IK, ou aux ^ de IB.
L'aire de la cycloïde étant égale à 3zRS et l'aire du rectangle ACLF, ù 4^R*, la somme des aires FAB, LBC, est égale à l'aire du cercle générateur irR*. Le centre de gravité de l'aire FABCLF est en un point g tel que
ou
^K=:3xKG=iR.
Le point g est donc le milieu du rayon BK. On ubtiendrait par des opérations analogues le centre de gravité d'un arc de cycloïde AS, d'un segment du solide de
«2 CENTRE DE GRAVnÈ D'UN ARC
révolution' engendré par la cycloîde tournant' autour de 1» droite AC, ou de la droite IB, ou de la, droite BF, ou. de la droite AF, etc.
REMARQUE SUR LES CENTRES DE GRAVrTÊ DES ARCS DE CERTAINES
