LE CENTRE DE GRAVITÉ D'UNE AIRE PUNE

dislances OM = î/, OM'=j/H-dj/, à la droite XY, distances qu'on peut mesurer sur un axe 0(y, perpendiculaire à leur direction commune.

Appelons z la dimension mn de la bande correspondante à la distance OH = y. L'aire AB aura pour mesure l'intégrale fzdy^ et la somme des moments des bandes par rapport à Taxe XT sera fzydy; ces quadratures sont prises entre les

limites y = OR, j/ = OR', qui ^ p yp»

correspondent aux tangentes extrêmes de la courbe.

La distance y^ du centre de gravité à la droite XY sera le quotient

Nous allons transformer l'intégrale fzydy et la ramener à la recherche de Taire d'un contour tracé sur la figure.

A une distance arbitraire, 00'= a, de la droite XY, menons une parallèle XT à cette droite. Joignons On ; puis menons mp parallèle à On, jusqu'à la rencontre de X'Y' ; joignons pO; cette droite coupe la droite mn en {x. Construisons le lieu du point {JL. Nous obtiendrons une certaine courbe r[tr', et l'aire comprise entre cette courbe et la partie f'nr du contour donné, fera connaître l'intégrale fzydy.

En eiTet, soit «' la longueur (xn. On a, à cause des parallèles mp, On, la proportion

Fig. iSA.

Donc ou bien

Op ■"* 0/1 '

Ou OH

s'ïssX?.

CONSTRUCTION GIUPUIQUE

et

zy = flî'.

Par suite

S^jdy

=s fas.'dy = ajz'dy = a X aire r^if/ir.

La distance y^ est donc à la distance 00' dans le rapport des deux aires représentées sur la figure. La construction peut d'ailleui*s être variée de bien des manières différentes.

Si du contour r^r^ on déduit, par la môme construction, un second contour t^'t'^ déterminant une troisième aire, on aura, en appelant if la dimension ^'n de la bande terminée à ce contour,

az" = %'y,

par conséquent

a* 5* =r az'y = %y.

De sorte que Taire comprise entre le nouveau contour rjxV et la portion rnr^ du contour donné, multipliée par a', représentera l'intégrale fyHdy^ étendue à la totalité de Taire du contour primitif.

La même construction répétée une troisième fois ferait connaître, au facteur a' près, une aire proportionnelle à Tintégrale /^2(ft/, et ainsi de suite indéfiniment.

L'évaluation des aires planes se fait très rapidement au moyen du planimètre d^Amsler; Vintégromètre de M. DepreZj fondé sur les mêmes principes cinématiques, donne directement l'aire, les coordonnées du centre de gravité, et le moment dHnertie d'une surface plane, c'est-à-dire les intégrales /«dt/, fyzdy^ fy^zdy. Pour la description et la théorie de ces appareils, nous renverrons à des notes insérées dans les Annales des Ponts et Chaussées^ 1868, tome XVI, page 224, et 1872, tome m, page 223.

THÉORÈME DE GULDIN.

206. Le théorème de Guldin, connu aussi sous le nom de théorème de PappiiSj donne le volume engendré par une figure plane, tournant autour d'un axe fixe tracé dans son plan, en fonction du chemin décrit par le cenlre de gravité de celle figure, ou bien la superficie d'une surface de révolution engendrée par une ligne plane tournant autour d'une droite menée dans son plan, lorsqu'on connaît le chemin décrit par le centre de gravité de cette ligne.

Inversement, le théorème de Guldin permet quelquefois de déterminer le centre de gravité d'une aire plane ou d'une ligne.

Voici l'énoncé de ce théorème :

1^ Le volume engendré par une figure plane A, quand elle fait une révolution entière autour d^un axe CB, tracé dans son plan {en dehors de la figure) ^ est égal au produit de l'aire A. par la circonférence décrite par le centre de gravité G de cette aire.

Si on appelle A l'aire de la figure, V le volume engendré par sa révolution, et H la distance EG du cenlre de gravité de l'aire à Taxe CB, on aura

V = 2kIIA. fct

Considérons, en effet, le volume en- * gendre par l'élément rectangulaire fitnpq, pris où l'on voudra dans la figure A, mais tracé de manière que les côtés mw, pq soient perpendiculaires F»g. iss.

à Taxe BG, et les deux autres côtés, mq, np^ parallèles au même axe. Prolongeons les côtés mn^ pq jusqu'à la rencontre de Taxe en r et s; le volume engendré par le petit rectangle mnpq sera la différence de deux cylindres droits, dont la hauteur commune est rs, et dont les rayons sont pr et qr ; le volume cherché est donc

ic{pP-'gr^)xr$,

Si8 THÉORÈME

expression qu'on peut mettre sous la forme

^(pr-h qr) [pr — çr) X r»,

ou encore

«ir(e:±£)xçpx?m.

Sous cette forme, il est facile de vérifier l'énoncé du théorème;

car qp X qm est Taire «> de la surface mnpq ; 2?; x (^ ,. j

est égal à 2tc X gh^ g étant le centre de gravité du rectangle, et gh la distance de ce point à Taxe; 2ic X gh est donc lu circonférence décrite par le centre de gravité quand le rectangle fait une révolution entière autour de BC.

Pour passer delà au volume engendré parla figure totale À, on décomposera cette figure en éléments rectangulaires infiniment petits, on fera pour chacun le produit

ÎTT X Aw.

OÙ b> désigne l'aire du rectangle considéré, et h la distance de son centre de gravité à la droite BC ; et enfin on fera la somme de tous ces produits. Or celte somme sera, à part le facteur constant 2^, la somme des moments des aires «o par rapport à laxeBC; elle sera donc égale au moment de la somme des aires, c'est-à-dire au produit de l'aire totale, A, par la distance, H, de son centre de gravité au même axe. Le volume engendré est donc

ce qui démontre le théorème.

Si, au lieu de faire un tour entier autour de BC, la figure décrivait seulement autour de cet axe un angle mesuré par l'arc a, le volume engendré serait réduit dans le rapport de a à 2ir, et serait exprimé par le produit aHA.

2"" La surface engendrée par une ligne plane finie, AA', quand elle fait une révolution entière autour d'une droite BC, tracée dans son plan (de manière à ne pas la couper)^ est égale an produit de la longueur L de cette ligne par la circonférence décrite par son centre de gravité G.

DE GULDIN. 319

Soit 6E=H la dislance du centre de gravité de la ligne à Taxe 6C ; l'aire engendrée par la révolution entière de AA' sera exprimée par le produit