HL
En efTet, cette aire est la somme des aires engendrées par les arcs élémentaires successifs mn^ qui composent Tare total AA'. Abaissons des points m et n des perpendiculaires ffw, nr sur Taxe ; l'élément mn étant infiniment petit, peut être considéré comme rectiligne ; il engendre la surface convexe d'un tronc de cône qui a pour mesure la moyenne des circonférences des bases, multipliée par la génératrice mny ou bien
Kg. 186.
2,x(î:^^)xm„.
Soit g le milieu de mn; la demi-somme — ^ — ^st égale à la
distance gh du milieu de mn à Taxe BC ; le produit précédent devient
il faut faire la somme de tous ces produits élémentaires, ce qui revient à multiplier par 2ic la somme des produits mn x gh, ou la somme des moments des arcs mn par rapport à l'axe BC; carie point 9, milieu de mn, est le centre de gravité de Tare mn. La somme des moments des arcs élémentaires est égale au moment de la sommie de ces arcs, ou au produit de la longueur totale L de l'arc AA^ par la distance H = 6E de son centre de gravité à l'axe de révolution, ce qui donne en définitive
2itHL.
Si la ligne AA' ne faisait pas un tour entier, et qu'elle décrivit seulement un angle a autour de Taxe BC, a étant mesuré en parties du rayon, la surface engendrée serait seulement aHL.
THËORËHB
APPLICATION DU THÉORÈME DE GULDIN A l'ÉTaLUATION DES VOL0!IES OU DES SURFACES.
207 • Soit proposé de trouver le volume engendré par le triangle ABC, faisant une révolution entière autour d'une droite AP, menée par le sommet A en dehors de ce triangle, mais dans son plan. On déterminera le milieu I de la base BC du triangle, puis le point 6, centre de gravité, en prenant
A6= ^ AI. Abaissant GH perpendicu-
wG lairement à Taxe AP, on aura pour mesure du volume cherché
Fig. 187.
V maire ABC xSnGU.
Du point I, abaissons IF perpendiculaire sur AP. La dis-
tance H6 est les = de IF ; substituant, il vient o
V = = 7rlFx aire ABC
Cherchons aussi l'aire engendrée dans le même mouvement par le côté BC; cette aire S sera égale au produit du côté BC par la circonférence décrite par le centre de gravité I de ce côté :
par conséquent
S = 2icIFxnC;
'^^3 "Te SXgAK,
car Faire du triangle ABC est la moitié du produit de la base . BC par la hauteur AK, abaissée du point A, perpendiculairement sur BC.
208. Volume du tronc de cône. — Le tronc de cône peut être considéré comme engendré par la révolution entière au-
DE GULDIN. 321
tour du côlë AB d^un trapèze ADGB, dont deux angles A et B sont droits. Soit 6 le centre de gravité du trapèze. Le volume V du tronc de cône sera égal au produit
V = 2itGL X STirf. ABCD.
Soient BC=R, AD=r, les rayons des bases du tronc de cône, et AB = H sa hauteur. b""^ k"
La distance a;=LG du centre de «^- ^w-
gravité du trapèze s'obtiendra en prenant par rapport à AB les moments des deux triangles ABDjDBC, ce qui donne l'équation
8urf. ABD Xgl-^- surf. DBC Xg'V = surf. ABCD x x,
en appelant g et g^ les centres de gravité des deux triangles situés sur les médianes BI, DK.
Or
surf. ABD = g rll, surf. DBG = 1 RH, 8urf.ABCD = |{R-f.r)n;
Pour obtenir g'I'y observons que la diagonale BD du trapèze divise cette droite en deux segments» dont l'un, /'m, est le tiers de AD, tandis que l'autre est égal aux deux tiers de BK, ou au tiers de BG; donc
^l' = l(ADH-BC) = î(RH-r).
Nous avons donc en résumé
JrHxlr-hlRHxitR + r) , ,,^r.^r, J(R+.,H 5 R + r
Le volume Y, égal à 2ica; x surf. ABCD, est donc donné par la formule
formule des éléments de géométrie.
o. — Hic. couaonos. 2t
322 THËORËME
209. Le volume d'un tore^ engendré par la révolution du cercle 0 autour d'une droite AB tracée dans son plan en dehors du cercle, est le produit de Paire du cercle 0 par la circonférence dont le rayon est égal à la distance OH; c'est le produit
itR« X 2icH, ou îjcWH.
R étant le rayon du cercle 0, et H la distance OH.
La surface engendrée par la circonférence a pour mesure
Fig. 189. 2:rR X 2:rH = 4it«RH.
On trouverait de même le volume engendré par une ellipse tournant autour d'une droite tracée dans son plan.
APPLICATION DU THÉOIfÈME DE GCLDIN A LA PECHERCHE DES CENTRES DE GRAVITÉ DES AIRES ET DES UGKES PLANES.
210. Soit proposé de chercher le centre de gravité d un arc de cercle homogène AB.
L'arc AB est symétrique par rapport à la droite OC menée lu centre 0 au milieu de l'arc. Le centre de gravité 6 est ' ^ situé sur cette droite, à une certaine distance
X du point 0.
Par le cenlre 0 menons une droite OP, perpendiculaire à OC; puis faisons tourner la iT" figure autour de OP ; l'arc AB engendrera dans ce mouvement une zone sphérique dont la hauteur PQ est égale à la corde AB de l'arc donné. Cette zone a pour mesure le produit
Fiff 190.
de sa hauteur, ou de la corde AB, par la rirconférence d'un grand cercle de la sphère, c'est-à-dire par 2xxOC. Le théorème de Guldin nous montre d'un autre côté que la surface engendrée par une révolution entière de l'arc AB est égale au produit de la longueur de l'arc par la
DE GUlDVa.
circonférence décrite par son centre de gravilé, ou à arcABxSxx. On a donc
d'où Ton lire
corde AB x 2«0C = arc AB x iw*, , corde AB
