EXTENSION DU THÉORÈME DE GULDIN
211. Supposons qu'on Irace un contour F dans un plan P, qui roule sans glisser sur une surface développable, et qui tourne successivement d un angle infiniment petit autour des arêtes rectilignes AB, A'B', A''B^ ..., de cette surface.
Dans ce mouvement, la figure F engendrera un volume, et le périmètre de cette figure engendrera une surface.
Cela posé, le volume engendré par la surface F entre deux positions quelconques du plan mobile est égal au produit de faire V par le chemin déctit par son centre de gravité G ;
La surface engendrée par le périmètre de la surface F a pour mesure le produit du périmètre L par le chemin décrit par son centre de gravité G' .
Pour démontrer ces théorèmes, il suffit d'observer que pendant un temps infiniment court le plan P tourne autour d'un axe fixe AB, et que la figure F engendre un élément de solide de révolution, le théorème de Guldin peut s'appliquer à ce temps très court ; il ne reste plus qu'à faire la somme de tous les éléments décrits, ce qui don- "^- ^^*-
nera Taire F, ou le périmètre L, multiplié par le chemin total décrit par le centre de gravilé de l'aire ou par celui du périmètre.
212. L'axe de rotation, dans tout ce qui précède, est supposé extérieur à la figure mobile. Le théorème de Guldin s'applique encore au cas où Taxe traverse la figure méridienne, sauf à prendre positivement les volumes et les superficies engendrées par les parties situées d'un cdté de Taxe, et négativement les volumes et les superficies engendrées par les parties situées du côté opposé.
Si Ton adopte cette convention, on pourra dire que k volume engendré par une aire fermée^ tournant autour dune droite tracée dans son plan et passant par son centre de gravité, est égal à zéro. Car le chemin décrit par le centre de gravité est nuL II ne faut pas oublier que dans cet énoncé on prend avec des signes contraires les volumes élémentaires engendrés par les deux parties de la figure séparées par Taxe de rotation.
TRANSFORIUTIOM D^UTÎE SURFACE HÉI.ICOÎDAT.K EU SURFACE DE RÉVOLUTION.
21 5. Lemme.— Soit âB (fig. 192) un élément mobile infiniment petit dont tous les points décrivent à chaque instant des trajectoires normales à la direction correspondante de Télément. L'aire engendrée par Télémenl entre deux positions quelconques AB, A'B' sera égaie au produit de AB par le chemin I V décrit par le centre de gravité, I, de l'élément, et comme les longueurs AA', BB', ce, diffèrent de quantités infiniment petites, on pourra exprimer cette aire AA'B'B par le produit
AB X kk'.
Fig. \^ En effet, considérons les positions successivesAB, AjBj, A,B„... de l'élément mobile, et évaluons Taire AA^B^B comprise entre deux positions consécutives.
Par AB (fig. 195), faisons passer un plan P, normal à la trajectoire du point 1 ; par A^B^ , faisons passer un plan P» r
DE GULDIN.
Fig. 103.
normal à la môme trajectoire au point T^. Ces deux plans se couperont suivant la droite LL', axe de courbure de la courbe 11^. Prolongeons AB dans le plan P, jusqu'à la rencontre de LL' en C ; puis imprimons au plan P, autour de LL', un mouvement de rotation infiniment petit, qui amène le point I au point T^, et l'élément AB dans la position a^. Dans ce mouvement, l'élément AB engendre une portion infiniment petite de surface conique dont le sommet est au point C, et cette portion a pour mesure le produit ABxlIi.Pour amener ensuite l'élément mobile dans sa position AjBp il n'y a plus qu'à faire tourner dans le plan P^ l'élément a^ d'un angle infiniment petit autour de son milieu I^. On déforme ainsi l'élément de cône Aa^B, qui devient un élément de surface gauche, AA^B^B. Dans cette déformation, chaque élément de la surface conique reçoit un déplacement normal infiniment petit.
A chaque élément de la surface gauche correspond donc sur le cône un élément superficiel qui en est la projection orthogonale, et comme l'angle de ces deux éléments est infiniment petit, il y a égalité entre les deux éléments, et par suite entre les deux surfaces (I, §62). La déformation n'entraîne ainsi ni altération des aires , ni altération des éléments de longueur, et l'on a
surf.AAjBjB = ABxIIi,
<;omme si le déplacement de l'élément générateur avait consisté dans une simple rotation autour de LL'.
n en est de même de chaque élément, et par suite aussi de leur somme, ce qui donne pour résultat définitif ABxIP, ou AB X AA', en remplaçant I T par la longueur AA', qui en diffère infiniment peu (fig. 192).
214. Ce lemme trouve son application dans la théorie de surfaces hélicoïdales .
Soit 00' Taxe d'une surface engendrée par le mouvement hélicoïdal imprimé à une figure quelconque. Le point  parcourt dans ce mouvement une hélice ÂÂ', le point B une hélice BB'; toutes ces hé lices ont même pas AA'=BB' = fc:
elles diffèrent par les rayons Aa, Bi des cylindres droits sur lesquels elles sont tracées.
Pour définir la figure génératrice, menons sur la surface une ligne PP, qui coupe à angle droit toutes les hélices AA', BB', ce,... Sur cette ligne prenons une origine arbitraire P, et comptons les arcs à partir de ce point, dans le sens PP'. Un point A de la ligne sera donné par l'arc PA = « qui lui correspond ; ce point appartient d'ailleurs à un cylindre droit de rayon Aa=R, et, par suite, la forme de la surface hélicoïdale établit entre les deux quantités « et R une relation
qu'on peut supposer connue.
Évaluons la surface de la bande hélicoïdale engendrée par l'élément AB = ds, et comprise enire deux positions AB et A'B' éloignées d'une spire. Chacun des points de cet élément décrivant des lignes normales à sa direction, on peut appliquer le lemme précédent, ce qui donne pour aire de la bande le produit
Fig. 194.
ou bien
AB X longueur [Âmm'k'),
d#Xv/4««H«4-/t^
Nous allons chercher (fig. 195) à quelle distance ysoa^ de Taxe GHâ)' il faut placer un arc aP = rf«=AB, pour qu'une révolution entière de o^ autour de îm/ engendre une surface égale a cette bande hélicoïdale.
DE GULDCf. S37
L'aire engendrée étant égale à OU à
dêXiny,
la condition d'équivalence des deux bandes est
OU bien
Imaginons que cette relation soit satisraile en tous les points de la courbe o^ ... Il y aura équivalence entre les aires de la surface de révolution et les aires correspondantes de la surface hélicoïdale; cette équivalence aura lieu non-seulement de bande à bande , mais encore d* élément à élément, en prenant pour éléments correspondants une même partie aliquote de deux bandes correspondantes. On partage ainsi les deux bandes en ^* éléments rectangulaires qui se correspondent, et qui ont à la fois même surface et même dimension a^ = AB =ds.
Leurs secondes dimensions sont donc aussi égales, et, par suite, il y a non-seulement équivalence des aires, il y a encore égalité entre les éléments de longueur correspondants, tracés sur les deux surfaces, et égalité des angles que ces éléments font entre eux. Donc enfin la surface héUcoidale est applicable sur la surface de révolution.
L'équation de la méridienne a^^*-* s'obtiendra en remplaçant R par sa valeur
dans l'équation «=:F (R), et l'on aura
il restera à intégrer cette équation, pour la ramener à ne contenir que les variables x et y.
