INSCRIT ET GIRGONSGKIT A UN TRIANGLE

les poids placé» en A, en B et en C, et prenons les moments successivement par rapport aux côtés du triangle. Nous aurons, en appelant ft, Â^ A% les hauteurs Aa, B^, C^, les trois équations :

y^XA"=(p+p' + P")r.

et par suite, on peut faire p=ay p'^b^p^^zzc^ en appelant a, fc, c, les trois côtés du triangle; car les produits afc, bh\ ch", et le produit (a-^b + c)r sont tous les quatre égaux au double de Taire du triangle.

On satisfait à la condition demandée en plaçant au point A un poids a proportionnel au côté BC ; en B, un poids fr, proportionnel à AC ; en C, un poids c, proportionnel à AB.

Appliquons le théorème du g 221 au point 0 et au système ainsi formé. Nous aurons l'équation

SÂ"xfl-H55*x6 + 5c"x<: = GPx« + GB'x6-HGC*X<!

ou bien

R«X(a + *4-c) = GA*Xfl + GPx6 + GÎ?Xtf + UG»x(fl-H6H-c).

Résolvant par rapport à l'inconnue 06*, il vient

Fig. 200.

Le dernier terme du second niembre peut être simplifié.

n. — afc. COUI62CON.

358 DISTANCE DBS GEHTRES DES CERCLES

Dans les triangles rectangles GAfr, GCa, GBc, les hypoténuses

£A, GB, GG, sont exprimables au moyen des côtés Ga, Gb^ Ge,

-qui sont tous égaux à r, et des sinus des angles opposés, res-

ABC pectivement égaux à ^ t ^, 3. On a

»in|

Substitaons ces valears ; il vient

I «n*2 *ta*5- ««•?

ôg' = R.-,.xL .+t + c J-

Faisons on sait que

8pssa-H6 + tf;

2 bc *

sin«^ 8in«j sin*^

j i \ nbcxp

■*" (|j-a)(p-6)y (p -.a) (p - ft) (p - *)•

et enfin

îîr« — nt r' x ct6cX p

niSCEUT ET GIRCO.NSGRIT A UN TRIANGLE. 330

Soil S la surface du triangle ABC. On aura à la fois

S'=^6csinA

2S Remplaçons dans le numérateur bc par -; — r^, et pr par S;

et dans le dénominateur, p (p — a) (p — b) (p — c) par S* :

OG»=R* îlî^^ = Rt-.rX^

îib* Uu A

Prolongeons la droite A6 jusqu'à la rencontre I avec le cercle circonscrit. Le point I sera le milieu de Tare BC, et la droite 01 coupera la droite BC au point K à angle droit et en deux parties égales. L*angle au centre BOl est égal à Tangle BAC, inscrit dans le cercle et sous-tendant sur la circonfé* rence un arc douLk de Bl. Donc

BOI^A, BKs^assRsinA,

-Ti7 = ÎR.

()(? = R« — 2Rr.

La distance 06 est en définitive une fonction des deux quantités R et r. Donner en grandeur le cercle inscrit et le cercle circonscrit, c'est donner en même temps la distance de leurs centres. 11 en résulte qu'étant donnés deux cercles dans un plan, il n'est pas toujours possible de construire un triangle qui soit inscrit dans l'un et circonscrit à l'autre ; et que s'il est possible d*en construire un, on peut en construire une infinité d'autres. Plus généralement, étant données deux courbes du second ordre dans un plan, il n'est pas toujours

iPPLlCATJOKS

possible d'inscrire dans Tune un polygone fermé d'un nombre déterminé de côtés qui soit circonscrit à Tautre, et s'il y en a un, il y en a une infinité ^

225. Étant donnés un cerde 0 et un point A dans le plan de ce cercle, on mène par ce point deux droites rectangulaires AD, AC, qui rencontrent la circonférence en^ etC, On joint BC, et du point A on abaisse sur BC la perpendiculaire AP. On demande le lieu du point P, pied de cette perpendiculaire.

Soit R le rayon du cercle; faisons AB=x, AC = y. Le point P divise rhypoféhuse, BC, du triangle rectangle ABC en segments proportionnels aux carrés des côtés de Tanglc droit.

Donc le point P est le centre de gravité du système formé par un poids égal ù y* placé en B, et par un poids égal à x* placé en C. Cette remarque nous donne immédiatement la distance OP; en ellet, appliquons le théorème du g 221, nous aurons

Fig. 201.

y«XUB*-f a;«xOC* = t«« + y*)OP*-4-y«xBP + «*XPC'