GÉOMÉTRIQUES

Hais AP X BC^ double de la surface du iriangle ABC, est égal à AB X AG ou à xy. Donc

et enfin

Rt — ôpi^ïpi.

Prenons le milieu I de AO ; nous supposerons deux poids égaux placés en A et en 0, qui auront leur centre de gravité en 1, et nous appliquerons encore le théorème. Il viendra

ôp* + ÏF* = 2FÎ* + 2IP, et par suite

R« = 2FÎ* + 2ÂP.

Donc PI est constant, et le lieu du point P est une circonrérence décrite du point I comme centre avec un rayon

Pl = yfIir« = v/?-î^'.

226. Étant donnés (fig. 202) n points matériels A, B, C, ... D, dont les poids respectifs sont p^ p,,.-. p»» ^t une droite LL', on abaisse de tous ces points sur la droite des perpendiculaires^ Aa, Bi,... Dd, et on forme la somme

du carré de la distance de chaque point à la droite^ multipRé par le poids de ce point.

Par le centre de gravité^ 6, du système des n points^ on mène une parallèle XX' à la droite LL', et sur cette parallèle on abaisse des points donnés des perpendiculaires Aa, B^, Cy, ..., DS. On forme la somme I^

Gelaposé^ la somme l est égale à la somme I^, augmentée dupr(h duit

THËOftËMES

-■ ' Pi- i

<tt ra;r^ de la distance des deux droites LL% XX^ mu/^ip/i^ par

fe poids total du système.

Menons un plan PP perpendiculaire aux parallèles LL', XX',

puis projetons orthogonalement sur ce plan tous les points

donnés, A, B, ... D; nous obtenons ainsi les points A', B\..., IX, auxquels nous pouvons attribuer lespoidspj,p,,...,p.. Lecentrede gravité du système projeté sera la projection du centre de gravité G du système donné (§ 168, Rem. II) ; soit X ce point, et soit L le pied de la droite LL'.

Nous pouvons appliquer le théorème précédent (g 221) au

système projeté ; il viendra :

(rL'x/Ji+6â?xp,+... 4-sn7xp«)

Or, les distances Aa, Bb, ... M, des points donnés à la droite LL', se projettent en vraie grandeur sur le plan PP, et ont pour projections les dislances des points A', B', ....D', au point L. On a donc : A'L= Aa, B'L=B6, ..., D'L = Dd. De même, A'X = Aa, ..., iyx = Dô; et par suite, Féqualion précédente peut s'écrire :

Fig. iOi.

Aa*Xp, + B?Xpj+,

= ï;*XPiH-B^Xpj-f-... +D?Xl>ji-hL7x(l>t+.

c'est Texpression algébrique du théorème qu'il s'agissait de démontrer.

Corollaires. — 1° La somme des produits du poids de chaque point par le carré de sa distance à une droite LL' est la même pour toutes les positions de cette droite sur la surface d'un cylindre droit à base circulaire, décrit autour de la droite XX' comme axe.

T Elle est minimum pour Taxe XX' lui-même.

Il serait très facile d'établir directement ces diverses pro-

positions, que nous retrouverons dans la dynamique lorsque nous exposerons la théorie des moments d^inertie.

CEKTRE DE GRAVTTÉ DE LA. COURBURE,

227. On appelle ainsi le centre de gravité d'un arc de courbe plane, dont chaque élément infiniment petit ds reçoit un poids spécifique proportionnel à la courbure de cet élément, ou inversement proportionnel à son rayon de courbure» p.

Les coordonnées x^ et y^ du centre de gravité de la cour^ bure d'une portion définie d'une courbe donnée s'obtiendront donc au moyen des équations

les intégrales étant prises entre les limites correspondantes

aux extrémités de la portion de courbe que Von considère*

ds On remarquera que — est Y angle de contingence do) de Pélément de courbe ; de sorte qu'on peut poser

/ xda I xdto I yd(a

Û étant la somme des angles de contingence, somme qui mesure l'angle formé par les tangentes aux extrémités de l'arc donné.

Soit 0 le centre de gravité de la courbure d'une courbe prise entre deux points donnés. On pourra appliquera ce point les propriétés générales du centre de gravité d un système pesant.

Cherchons, par exemple, le lieu géométrique des points O'

du plan pour lesquels la somme des produits du poids, — ou dtt, de chaque clément successif m, par le carré O'rn de sa

344 GENTftB DE GHAYITÉ

distance à ce point (y, ait une valeur constante. Nous trouverons pour ce lieu une circonférence décrite du point 0 comme centre ; et la somme /O'm* x d<i) sera minimum quand le point 0' coïncidera avec le point 0. On peut donc définir le centre de gravité de la courbui'e, le point du plan tel que l'intégrale fr^dtûj des produits de l'angle de contingence de chaque arc par le carré de sa distance au point, soit la moindre possible.

Un théorème de Steiner montre Futilité de ces définitions.

Soit AB ^ne courbe fermée qui roule sans glisser sur une droite fixe AA^ Dans ce mouvement, le point M, appartenant au plan de la courbe mobile, décrit une roulette MNM' : nous dirons que la roulette «st complète quand le point A de la

courbe mobile est revenu pour la première fois au contact de la droite directrice, en A'; alors le point M se trouve en M', et la roulette se prolongerait au delà par une nouvelle branche de courbe, qui serait la reproduction de la courbe MNM' déjà décrite. Évaluons l'aire comprise entre cette courbe, et les trois droites MA, AA', A'M'.

Pour cela, considérons la courbe mobile dans une position B" quelconque. Soit N la position correspondante du point M, et C le point de contact de la courbe roulante. La droite CN sera normale à la roulette au point N. Concevons qu'on imprime à la courbe roulante un déplacement infiniment petit, qui amène le point N en N^ et qui fasse passer le contact du point C aux points C et C confondus en un seul. La surface comprise entre les deux droites CN^ C'N', toutes deux normales à la roulette, est un élément de Faire cherchée. Menons