DE U COURBURE

la diagonale CN\ L'élément considéré est la somme des deux triangles NCN' et CN'C, ou bien, en observant que les points C\ C sont à une dislance infiniment petite du second ordre, ce qui rend négligeable la surface du petit triangle CC'C% la somme des deux triangles NCN' + CN'C''.

Le premier NCN' est le secteur décrit par le rayon CN qua|fid la courbe roulante tourne, autour du centre instantané C,d'un aaglc NCN' égal à Tangle de contingence de Tare CC, ou égal à d(ù ; appelant donc r le rayon CN, le premier triangle aura pour mesure \ f^dtù.

Le second triangle, CN'C, est, à des infiniment petits d'ordre supérieur prés, égal au triangle CNC'', qui a pour mesure \r^d^j en représentant par d6 l'angle CNC que fait, dans la courbe roulante supposée fixe, le rayon NC" = r-f- dr avec le rayon NC=r.

La surface de la roulette complète a donc pour mesure la somme des intégrales

S=gy*r«d«-+-|j"r«ii(>»

les quadratures étant prises tout le long de la courbe, en partant du point A, et en revenant à ce point après avoir fait le tour de la courbe.

Dans cette opération, le second terme | /r^dO donne la surface A de la courbe roulante AB, quantité constante quelle que soit la position du point M. Le premier terme, moitié du produit de la courbure de chaque élément par le carré de sa distance au point M, reste le même quand on fait varier la position du point M sur une circonférence qui aurait pour centre le point 0, centre de gravité de la cotirbure de la courbe AB.

Donc:

!• Les aires des roulettes engendrées par, divers points M, pris dans le plan de la courbe AB, sont équivalentes^ si les distances de ces points au point 0 sont égales;

V La roulette d'aire minimum est celle qui est engendrée par le point 0 lui-même.

Sfeiner a aussi comparé Taire de la roulette complète engendrée par le point M avec Taire de la podaire de la courbe AB, supposée fixe, par rapporta ce même point H. La podaire d'une courbe est le lieu des pieds P des perpendiculaires abaissées du point M sur les tangentes CP à la courbe.

L'aire élémentaire de la podaire PP du point M par rapport

à la courbe AB peut être regardée comme égale à la somme

du triangle MCC et du triangle IPP'. La pre>

miére partie a pour mesure 5 r*dO, en ap-

pelant r le rayon MC, et dO Tangle CMC.

La seconde a pour expression 5IP* x (io»,

diù étant l'angle de contingence de la courbe AB. Faisons HP=p, distance du point M à la tangente à la courbe ; IP est, à un infiniment petit près, égal à CP, ou à ^r^ — p"; de sorte que Taire S' de la podaire est égale à la somme

5J'r«rfa + jJ(r*-p«)d.i = S'.

Or Taire élémentaire dS' est aussi égale à Taire du trian-

gle MPP', qui a pour mesure 5 pVu>. On a donc

iJptrf« = S',

les intégrales étant prises tout le long du périmètre de la courbe, en revenant au point de départ. Ajoutant, il vient

8S' = i/rV»9+i/r^«

et comparant à Taire de la roulette décrite par le point M, on en déduit

L'aire de la roulette est double de celle de la podaire. Par