ÉQUILIBRE D*UN TÉTRAÈDRE

231. On propose de démontrer qu'un tétraèdre est en équilibre quand il est soumis à l'action de quatre forces normales à ses faces, appliquées en leurs centres de gravité, propor-

EQUIUBRB D'UN TÉTRAÈDRE. 353

lionnelles à leurs aires respectives, et dirigées toutes vers l'intérieur du corps, ou toutes vers l'extérieur.

Soient A^, A,, A„ A^ les quatre faces du tétraèdre; les lettres désignent à la fois les faces et les aires de ces faces. Une face quelconque, A^, est égale à la somme algébrique des projections des trois autres sur son propre plan. On a donc l'équation

A4 = Aj cos(a„ kj + Atcos (AiTXi) + A5COS (ï^TAi) .

Les forces P^, P,, P,, P^, respectivement appliquées aux centres de gravité, G^, G,, G,, G^, des quatre faces, sont proportionnelles aux aires de ces faces, et par suite

P4 = Picos (aTjw) + Pi cos(ïirîl) + Pj cos (a^).

Or Tangle de la face A^ avec la face A^ est égal au supplément de Tangle que fait la normale P^ sur la face A^ avec la normale P^ sur la face A^, pourvu qu'on dirige ces deux normales à la fois vers r intérieur, ou à la fois vers Textérieur de la pyramide. Il en est de môme des angles (A^,A^) et (A,,AJ, de sorte qu'on peut écrire.

P4 + P, cos (pi^Tpi) -H P, cos (pTïQ -h P, cos [Ky^i) =0.

ce qui indique que la somme algébrique des projections des forces Pj, P„ Pjj, P4 sur un axe normal à la face A^ est identiquement nulle. On démontrerait de même que la somme algébrique des projections des quatre forces est nulle sur les axes normaux à deux des trois autres faces, et par suite elle est nulle pour un axe quelconque mené dans l'espace. La résultante de translation des quatre forces P^, P„ P,, P^ est donc nulle, et la première condition de l'équilibre est vérifiée.

Pour achever la démonstration, il suffit de prouver que la somme des moments des quatre forces est nulle par rapport à trois droites au moins, non parallèles à un même plan.