DE LA PESANTEUR

les hauteurs des points donnés, au-dessus d'un même plan horizontal, dans la position initiale du système, et

Z|i Z|, ...» Zs

les hauteurs des mêmes points, dans une seconde position. Pour trouver le travail de la pesanteur correspondant au passage de la première position à la seconde, il faudra former pour chaque point le produit p X (2 — Z), et faire la somme algébrique de tous ces produits; le travail cherché, T, est donné par Téquation

T^Pi(2| — Zi)+P«(af — Zt) + ...+P«(2* — z»),

qu'on peut écrire :

(*) T = [pii^ -f ;>3», + . . . + pnz%) — {p|Z| + p A 4- ... 4- p«Z«) .

Or, appelons z la hauteur, au-dessus du plan horizontal de comparaison, du centre de gravité du système dans sa première position (§151, Rem.), et Z la hauteur du centre de gravité du système dans sa seconde position ; nous aurons (§168):

PiS| + 7Va-f ••• +/'i»'»= (/'i+Pt+ ••• +P»)X», PiZi+7'A-h...+P«Z»=(p4 4-p,+ ...+pii)xZ.

Introduisons ces valeurs dans l'équation (1), il viendra

(2) T = (pj+p,+ ...-|-p»)(:«-Z).

Le travail de la pesanteur sur un système matériel qui subit un déplacement fini ou infiniment petite est égal au poids total du système, multiplié par la quantité (positive ou négative) dont est descendu son centre de gravité en passant de la première position à la seconde.

Le travail de la pesanteur est nul si, en passant de la première position à la seconde, le centre de gravité ne change pas de hauteur.

360 ÉQUIUBRE DTN SYSTÈME PESANT

CONDITION D ÉQUILIBRE d'uN SYSTÈME MATÉRIEL A LIAISONS GOMPLÈIES, QUI n'est SOLUGITÉ QUE PAR SON PROPRE POIDS.

235. Nous avons démontré (g 134) que* pour qu'un système matériel à liaisons soit en équilibre, il faut et il suffit que la somme des travaux virtuels des forces appliquées à ce système soit nulle pour tout déplacement compatible avec ces liaisons.

Appliquons ce théorème à un système pesant, que nous supposerons d'abord à liaisons complètes; l'équilibre de ce système sous l'action de la pesanteur et des forces qui tiennent lieu des liaisons, sera assuré dans une position particulière, si le déplacement infiniment petit qu'on peut supposer imprimé au système à partir de cette position, n altère pas la hauteur du centre de gravité. Car alors (§ 254) le travail de la pesanteur est nul. Le système étant à liaisons complètes, tous les points qui le composent, et le centre de gravité de ces points, décrivent des trajectoires définies ; le déplacement virtuel subi par le centre de gravité s'opère donc suivant un arc infiniment petit d'une trajectoire déterminée, et pour que le travail de la pesanteur soit nul, il faut et il suffit que ce petit arc soit horizontal. La position d'équilibre du système est donc définie par cette condition que le centre de gravité occupe sur sa trajectoire le point où la tangente est horizontale. Pour trouver les positions d'équilibre, on construira la trajectoire du centre de gravité; on mènera à cette courbe des tangentes horizontales, et les points de contact seront les positions du centre de gravité lorsque l'équilibre existe ; à chacune de ces positions correspond pour le système une position d'équilibre.

236. Prenons pour exemple une droite pesante homogène, AB, dont les deux extrémités A et B sont assujetties à glisser sans frottement le long de deux droites fixes rectangulaires, OX, OY, tracées dans un plan vertical.