A LIAISONS COMPLÈTES

Pig. 211.

Le centre de gravité G du système donné est le milieu de la droite AB; l'angle AOB étant droit, la distance 60 est égale à la moitié de la longueur AB, et par conséquent, le lieu décrit par le centre de gravité est la circonférence GCMD, décrite du point 0 comme centre avec un

rayon égal à ^ AB. Par le point

0, menons une verticale MN; elle coupe la circonférence en deux points M et N, où les tangentes MT, NT' seront horizontales; ce sont les positions d'équilibre; des points M etN comme centres, avec des rayons

égaux i 5 AB , décrivons des

arcs de cercles qui coupent la

direction OY aux points A^ et A^ : les droites A^B^, A!fi\ seront

les deux positions d'équilibre qu'on peut donner à la droite

mobile.

Ces deux positions se distinguent Tune de Tautre en ce que l'une, A^Bp est une position d'équilibre stable, tandis que Tautre, A'^B'^, est une position d'équilibre instable. En effet, si on donne un petit déplacement à la droite A^B^, et qu'on l'abandonne ensuite, le poids de cette ^

droite tendra à la ramener à sa position d*équilibrer tandis que si l'on opère de même sur la droite A.'fi\, le poids de la droite tendra à l'écarter de sa position première. En général, l'équilibre stable correspond à la position qui rend le centre de gravité le plus bas possible. L'équilibre est instable, au contraire, si le centre de gravité occupe le point le plus haut de sa trajectoire. Il est également instable si la trajectoire PQ du centre de gravité (fig. 212) présente dans le plan vertical une inflexion au point H où la tangente HK est horizontale ; car de quelque

ng. ««.

côté qu'on déplace le système, ou bien il tendra à s'écarter de sa position d'équilibre, ou bien il tendra à y revenir, mais pour la dépasser et s'en écarter ensuite de plus en plus.

Enfin, il y a un cas singulier très remarquable, c'est celui où la trajectoire du centre de gravité est contenue dans un plan horizontal. Dans ce cas, l'équilibre est possible dans toutes les positions du système, et on dit qu'il est indifférent. 11 en est de même lorsque le centre de gravité est immobile.

237. Pour achever la solution du problème que nous avons pris pour exemple, proposons-nous de trouver les réactions des droites fixes OA, OB (fig. 2H), qui concourent avec le poids de la barre AB à tenir cette barre en équilibre dans la position A^B^.

Le poids de cette barre peut être considéré comme appliqué en son milieu M; il agit suivant la verticale MP, prolongement deOM ; on peut d'ailleurs le représenter par la longueur .A^B^ de la barre, en prenant l'échelle des forces en conséquence. Les réactions des points A^ et B^ sont normales à OAj, OBj, et contenues dans le plan vertical de la figure; leurs directions se coupent au centre instantané de rotation, P, de la droite A^B^, et ce point est situé sur la droite OM prolongée, puisque cette droite est normale à la trajectoire du point M. On peut donc regarder le poids de la barre comme appliqué au point P, et le décomposer en deux forces, suivant les directions PA^ et PB^ ; les composantes seront les réactions cherchées. Si l'on représente le poids de la barre par sa longueur A^Bj = OP, la réaction du point A^ sera repiésentée par la longueur PA^=0B4, et la réaction du point B^^ sera de même représentée par la longueur OA^.

La môme décomposition s'appliquerait à la position A'^B'p qui correspond à l'équilibre instable.