ÉQUILIBRE DU TREUIL EN TENANT COMPTE DU FROTTEHEKT
274. Revenons au treuil ordinaire, et cherchons les conditions d'équilibre en tenant compte du frottement des tourillons sur leurs paliers. Si le treuil est à Tétat de repos, il suffit que la résultante des forces qui pressent le tourillon sur la surface de glissement, fasse avec la normale à cette surrace un angle moindre que Vangle du frottement. La solution est donnée alors par une inégalité, ce qui permet de faire varier les forces extérieures entre certaines limites sans troubler Téquilibre. Pour rendre le problème déterminé, on peut supposer que le treuil, tout en restant encore en repos, est sur le point de prendre un mouvement sous l'action des forces qui le sollicitent, hypothèse qui revient à admettre que la résultante de ces forces fait avec la normale à la surface de glissement un angle égal à Vangle du frottement au départ. On pourrait aussi supposer que le treuil est animé autour do son axe d'un mouvement uniforme; dans ce cas les forces extérieures se font équilibre comme si le système était en repos, et de plus le frottement est égal à sa limite, puisque le glissement des corps en contact a effectivement lieu; la résultante des forces extérieures fait par conséquent avec la normale aux surfaces frottantes un angle égal à l'angle du frottement pendantlemouvement. Mais on ne peut pas affirmer d'avance que l'état de mouvement n'altère pas les réactions des points fixes, et nous aurions besoin de connaître ces réactions, pour en déduire les frottements qui doivent être introduits dans réqualion d'équilibre. Supposons donc simplement que le mouvement est sur le point de naitre dans un sens déterminé.
Soit OA (iig. 250) le rayon de la roue, tangentiellement à laquelle est appliquée la force P ;
OB, le rayon du cylindre, tangentiellement auquel est suspendu le poids Q ;
ÉQUIUBRE
Fig. 2501
OC, le rayon du tourillon, qui touche au point C la surface MN du palier.
Le mouvement du treuil se faisant ou allant se faire dans le sens de la puissance, on peut supposer que la roue tourne dans le sens de la flèche; le frottement subi par le treuil est dirigé en sens contraire; c'est donc une force F, appliquée au point C, tangentiellement à la circonférence du tourillon.
Outre cette action tangentielle, la surface d^appui MN exerce sur le tourillon une action normale S ; et il résulte de notre hypothèse que nous avons la relation
en désignant par f le coefficient du frottement.
Sur l'autre tourillon, nous aurons de même à considérer une réaction normale S% et une réaction tangentielle ou frottement, P, égale à S'f.
11 y a donc équilibre entre les forces P, Q, et les forces inconnues. S, S', et F = S/', F = S'f.
Prenons les moments par rapport à Taxe projeté en 0; il viendra Téquation
(1) PxOA = QxOB+(P-hF0xOC=QxOB-h(S + S')X/'xOC.
équation où entre la somme inconnue S + S'.
Pour déterminer séparément S et S% et pour trouver la condition d'équilibre entre les forces P et Q, nous procéderons comme nous l'avons fait dans le g 271 : nous substituerons aux forces P et Q des couples P x OA., Q x OB, et deux forces parallèles P' et P, (y et (y, appliquées à l'axe 0, dans les plans moyens des tourillons. Nous pouvons de même substituer aux forces F et F' des couples FxOC, F'xOC, en transportant ces forces parallèlement à elles-mêmes en des points de l'axe 0.
Nous obtenons par là, dans des plans parallèles, 4 couples qui se font équilibre en vertu de Téquation des moments (1), et deux groupes de quatre forces^ savoir les forces
P% Q', s et F,
appliquées au centre du premier tourillon, et les forces
P\ Q% S' et P,
appliquées au centre du second : ces huit forces se font donc aussi équilibre.
Je dis de plus que chaque groupe considéré séparément est en équilibre. S*il en était autrement, les quatre forces P', (ïy S et F, qui sont appliquées en un même point 0, auraient une résultante, qui devrait faire équilibre à la résultante des quatre autres forces P', (y, S' et F, appliquées aussi à un même point. Or cela est impossible, car les quatre premières forces sont situées dans un plan normal à Taxe du treuil, et leur résultante, située dans ce plan, ne peut être égale et opposée à la résultante des quatre forces du second groupe situées dans un plan parallèle. Donc enfin la résultante des forces S et F est égale et opposée à la résultante des forces P et (y? et de même la résultante des forces S' et F' est égale et opposée à la résultante des forces P et Q^.
La résultante des forces S et F, qui sont rectangulaires et liées entre elles par la relation F = S/', est égale à VS*-f-y'=Sv/rT7''. De même la résultante de S' et P est SV* -HT- ^^ résultante des forces P et Q' peut s'exprimer par le radical
^p^ 4- Q/t ^ îP'Q'cosiP', Q'),
et de même la résultante de P' et Q^ par le radical
0»»« -h Q"* + 2P''Q"C08tP'', Q").
On a donc les deux équations :
s V^ïTT* == V^P'* 4- Q'* -f- aP'U'cosiP, Q').
422 ÉQUILIBRE DU TREUIU
Et substituant dans l'équation (1) les valeurs de S et S', il viendra
(2) PxOA = QxOB-f -— ^XOC X [v^P'«+ 0'»+ 2P'(rcos(P', (ï) 4- \(1»"« + Q"« 4- 2PQ"cos(P". Q")]-
Dans cette équation, OA, OB, OC sont connus : la force Q est connue en grandeur et en direction ; on en déduit Q' et Q*. La force P est inconnue en grandeur, mais elle est connue en direction ; elle agit dans le plan de la roue du treuil, et, si on la décompose en deux forces P' et P', situées dans les plans moyens des tourillons, on connaîtra les rapports des composantes à la force totale. Les forces P' et P peuvent donc s'exprimer par des produits de la forme Pix, Pix', où les coefficients {& et [i! sont connus d'après les dimensions de la machine. Entin les angles (P% Q') et (P", Q") sont aussi connus. L'équation (2) ne contient plus qu'une inconnue P, et peut servir à en déterminer la vateur.
Pour cela, le mieux est de procéder par approximations
successives; on négligera d'abord le terme contenant les
radicaux, qui est multiplié par un nombre f toujours
petit si la machine est en bon état d'entretien. Cette hypo-
OA thèse fera connaître une valeur de P égale à QXtj^; c'est
la valeur exacte que l'on trouve quand on suppose le frottement nul. Cette première valeur de P sert à calculer des valeurs deP' etP qui, substituées dans les radicaux, en donnent une première valeur approchée. L'équation (2) conduit par suite à une seconde valeur de P, qui sert à en calculerune troisième, et Ton peut pousser ce calcul aussi loin qu'on le voudra.
MÉTHODE d'approximation DU GÉNÉRAL PONGELET.
275. L'équation (2), dégagée de ses radicaux, serait du quatrième degré enP; le général Ponceleta indiqué une méthode
MÉTHODE DE POMCELET. 423
qui permet d'y substituer une équation du premier degré, avec une approximation définie.
Cette méthode repose sur la détermination la plus convenable possible des deux coefficients constants M et N, pour que la fonction linéaire
M« + Ny
puisse être substituée, dans un intervalle donné, au radical carré \/a;* -t- y** Les radicaux de Téquation (2) sont de la forme
V^X* + Y*H-2XYcoi6;
mais on peut les ramener à la forme V^* -h j/S en posant
X 4- Y cos 0 = «
et
Ysin9&=y.
Nous supposerons qu'on demande de déterminer M et N de manière que, pour toutes valeurs du rapport - comprises
enire 0 et un nombre positif X donné, Verreur relative
y Mx -h Ky — \/x* H- y-
V«* + y* soit la moindre possible en valeur absolue. Faisons - = u, et divisons par x les deux termes delà frac-
tien. Elle est ramenée par là à la forme
Pour t« = 0, elle prend la valeur V = M — i.
Elle s'annule pour deux valeurs u' et tf^ satisfaisant à l'équation du second degré
(M-hNii)« = l4-tt«,
ou bien
(N» -!)«« + 2MNm + (a« — 1) = 0.
Pour que les deux racines de cette équation soient positives,
424 UÉTUODB
il faut et il suffit que ^., . soit positif, el que ^—j
soit négalif ; on satisfait à cette double condition en faisant M et N de même signe^ et moindres que Tunité en valeur absolue. S'il en est ainsi, u' et u" sont des nombres positifs, que nous supposerons inférieurs tous deux à la limite X. Nous prendrons donc M et N positifs, ce qui donnera des valeurs positives pour M -+- Nu.
Pour u = X, on a
Au delà de cette limite, pour u infiniment grand, Y converge vers la valeur N — 1.
On voit donc que, pour tt=0, V est négalif, qu'il passe au positif pour u=:u\ puis qu'il redevient nul pour u=tf^ et qu'à partir de là il reste négatif indéfiniment. La courbe des valeurs de V présente la forme ABEDG indiquée sur la figure, où l'on suppose OB=tt', OD=tt% et OF=X.
Fig. fit.
Cette courbe a un maximum en un certain point E, dont l'abscisse a;=OC est comprise entre les abscisses OB=tt' et 00=0^. Pour en déterminer la position, prenons la dérivée
rfV V V^i-fuV ^ Vi4-i>'
W — Mtf
(H-«')5' Le dénominateur est fini et positif pour toute valeur finie
