SUR LE PLAN INCLINÉ
inconnue P en deux composantes que nous appellerons X et Y; décomposons de même la force Q en deux composantes,
(y et or.
Les trois forces P, Q, R, se faisant équilibre, la somme algébrique de leurs projections sur une droite quelconque est nulle; donc
La première équation fait connaître la composante Y ; la seconde fait connaître la somme des deux inconnues X + R : l'une d'elles reste donc arbitraire.
Si l'on veut trouver la moindre valeur possible pour la force P, il faut faire X= 0, car on a l'équation
dans laquelle Y est égale à une force donnée Q*: elle montre que le minimum de P correspond à la moindre valeur de X, ou à X = 0. Dans cecasy R=Q'.
On équilibrera donc le poids Q avec une force P, parallèle au plan incliné, et dirigée de bas en haut, suivant la ligne de plus grande pente; cette force sera égale à la projection Kf du poids Q sur la ligne de plus grande pente, c'est-à-dire égale, à cause de la similitude des triangles IQQ*, ABH, au produit
BH du poids Q par le rapport j^ de la hauteur, BH, du plan incliné à sa longueur j AB.
Si l'on appelle a l'angle BAH du plan avec Thorizon, on aura
P = QC0S«,
et Q sina sera la pression subie par le plan.
282. Reprenons le même problème en tenant compte du frottement; pour que la question soit déterminée, il faut supposer que le glissement du corps sur le plan est sur le
Fig. 202.
point de se produire dans un sens défini, ou même qu'il se produit réellement, le corps ëiant animé d*un mouvement uniforme le long de la ligne de plus grande pente AB.
On verra en dynamique que Tétat de mouvement rectiligne
et uniforme du corps le long du plan incliné ne change rien à
la pression mutuelle exercée entre les deux corps en contact.
Admettons que le corps glisse ou va glisser de A vers B,
c'est-à-dire en montant. Le frottement exercé par le plan sur
le corps est alors une force F, parallèle au plan et dirigée dans le sens BA. La résultante des actions du plan sur le corps est donc dirigée suivant une droite IR, faisant avec la normale IS, dans le plan de la figure, un angle RIS égal à Tangle du frot* temenl. Cette réaction totale R se décompose en deux forces, une force normale S, et une force F, qui est le frottement.
Menons encore les axes Ix, ly ; décomposons le poids Q suivant ces deux directions, ce qui nous donnera les forces V et Q*^; décomposons de même la force inconnue P. Nous aurons pour l'équilibre les deux équations :
(1) Y = F-fQ^
(2) X-hS = Q'.
A ces deux équations il faut ajouter la relation entre F et S:
f étant le coefficient du frottement.
Il y a trois équations pour déterminer quatre inconnues X, Y, S et F. L'une des quatre inconnues est donc arbitraire, et Ton peut imposer au problème une nouvelle condition; nous chercherons, par exemple, à rendre la force P la plus petite possible.
Le problème se résout géoméfriquemenl d'une manière très
