SUR LE PLAN INCLINA

simple. r.e poids Q et les forces P et R se faisant équilibre au point I, Q est la résultante de deux forces IP, IR', égales et opposées aux forces P et R ; la droite IQ est donc la diagonale du parallélogramme IR'PQ' construit sur ces deux forces. Dans ce parallélogramme, le côté IR' a une direction connue ; la force P est représentée en grandeur par la droite QR% qui joint le point donné Q au point R', extrémité de la droite IR'. La moindre valeur de la force P correspond au minimum de QR% ou à la perpendiculaire abaissée du point Q sur la droite IR^ c'est-à-dire, le minimum cherché a lieu quand on donne à la puissance P une direction perpendiculaire à la droite IR, ou enfin une direction faisant avec la ligne de plus grande pente AB un angle PIY égal à Tangle du frottement.

La solution algébrique du problème s'achèvera donc en posant

Des équations (1), (2), (3) et (4), on tire

^ — TTr*

Si a représente l'inclinaison BAH du plan sur Thorizon, et ç Tangle du frottement, on aura

Q'=Qcosa,

Q'=Qsma,

/•=tang^,

et les formules deviennent

c n^^c<>sa — tangosina ^ , .

F = Qoos(a4-9)siii^,

V rt ^^8ina-f lang©cosa . , . »

^ = QX |4.t3ng;y =Sin(aH-y)c03y>

Remarque. — Nous avons supposé que le corps glissait en montant. S'il glissait en descendant, il n*y aurait qu'à changer la direction du frottement F, ce qui revient à mener la

droite IR de Tautre côté de la normale IS.

Les formules (5) conviennent encore, pourvu qu'on change 9 en — 9 et qu'on attribue des signes aux forces F, X et Y. Deux cas doivent être distingués.

l"" Si le prolongement de la verticale IQ passe dans Tangle SIR (fig. 263), on aura les équations suivantes, en prenant positivement les forces F, T et X;

Fig. 963.

le minimum de P correspondra à la direction normale à IR, ou à la condition X=lf/. La force P tend à la fois à entraîner le corps le long de la ligne de plus grande pente, et à le détacher du plan.

On déduit de ces quatre équations :

ou bien, en remplaçant Q', (ï ei f par leurs valeurs,

S = Qcos(ç> — «jcosf, F = Q CO8 (y — a) sin f, Y = Q sin [f — a] cos f, X = Q sin (f — a) 8in f ,

SDR LB PLAN INGLIKË. 44i

et ces formules donnent pour Y et X des valeurs positives, puisque a est supposé < 9.

2* Si, au contraire (fig. 264), la verticale IQ prolongée est en dehors de Fangle SIR, on aura les équations

Le minimum de P correspond à une direction IP normale à IR, ou à

On en déduit

Fig. S64.

ou bien :

s = Q CO8 (« — f) C08f 9 F = Q co8(a — y) sin 9, Y = 0 sin (« — y) CO89, I = Qsin(0c— f)sinf.

Ce cas correspond à a > 9.

La force P tend ici à retenir le corps et à Tappuyer contre le plan.

y Enfin, il y a un cas intermédiaire où le poids Q est en prolongement de la réaction R ; la force P est alors nulle, et le corps glisse d'un mouvement uniforme le long du plan incliné : Pinclinaison du plan sur Thorizon est égale à l'angle du frottement.

Les formules (5) comprennent tous ces cas particuliers, dés qu'on a égard aux signes des forces et de Pangle 9.

283. Application aux traîneaux. — On emploie dans certains pays, pour effectuer les transports sur la neige, des traineaux MN, glissant sur le sol AB (fig. 265). Le cheval qui mène le

Fig. 205.

traîneau est attelé à un brancard incliné OA, articulé en un point Oy au milieu è peu près de la portée du patin ; d'après ce qui vient d'être démontré, l'inclinaison la plus avantageuse à donner au brancard et aux traits par rapport à la ligne AB est Tangle du frottement. C'est dans celte direction que le cheval dépensera la moindre force en agissant sur le traîneau, soit pour lui faire gravir une rampe (g 282), soit pour lui faire descendre une pente peu inclinée (g 282, Rem. 1*), soit pour le retenir sur une pente forte (g 282, Rem. 2""). La réaction étant égale et contraire à l'action, le cheval est sollicité obliquement par le brancard ou les traits, suivant qu'il tire ou qu'il retient. Cette force oblique se décompose en deux forces. L'une, horizontale, s'exerce sur le poitrail, par Tintermédiaire du collier, quand le cheval tire ; sur l'arrière-train, par Tinterinédiaire du reculovr, quand le cheval retient : dans les deux cas, cette force horizontale est équilibrée par le frottement développé au contact des pieds du cheval avec le sol. L'autre force, verticale, s'exerce tantôt de haut en bas, tantôt de bas en haut ; dans le premier cas, elle appuie la sellette du cheval sur son dos et se transmet de là par les jambes jusqu'au sol ; dans le second cas, elle tend à soulever le cheval au moyen de la sous-ventrière, et est contre-balancée par le poids de l'animal. C'est ce qui arrive toutes les fois que le cheval descend une côte où il est forcé de retenir.

Si le frottement du traîneau sur le sol est très faible, Tincli-