TIIAVAIL DU FROTTEMENT SUR LE PLAN INCLIKÉ

284. Reprenons la question générale traitée au g 282. Dans tous les cas que nous avons examinés, il y a équilibre entre les trois forces P, Q etR, et par suite la somme algébrique des travaux de ces forces, pour un déplacement élémentaire quelconque, est égale à zéro. Prenons pour déplacement élémentaire le glissement que subit effectivement le corps le long de la ligne de plus grande pente du plan incliné, quand il est animé le long de cette ligne d'un mouvement uniforme. La somme algébrique des travaux des trois forces qui correspondent au déplacement IV est donc nulle. Examinons d'abord le cas où le corps monte (fig. 266). Le travail de la puissance P est égal au produit du déplacement I F par la composante Y parallèle au chemin, ou à YxH'* Le travail delà réaction R est de même égal au produit négatif — F x I T. Enfin le travail de la pesanteur est égal au produit négatif — QxPI'^y du poids Q par la quantité dont s'est élevé le centi;e de gravité du corps mobile. On a donc l'équation

Yxir— Fxll'— QXPI'=0.

Si le corps descend (fig. 267), on a Téquatioa

Yxlï'— Fxii'4Qxn'' = o

quand la force P est mouvante, et Téquation

— Yxii'— FxIP4-QXl'I"=0

quand la force P est employée à retenir le corps. Dans ces trois équations, le travail du frottement est négatif parce que le

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froUcment est une résistance au glissement du corps ; le travail de la pesanteur est positif si le corps descend, négatif s'il monte; le travail de la force P est positif ou négatif, suivant que cette force est dirigée dans le sens du mouvement ou en sens contraire.

Faisons lV=ds; nous aurons

Substituons dans la première équation les valeurs des déplacements et des forces Y, F et Q, données par les équations (5); il viendra pour Téquation du travail, en supprimant les facteurs communs Q et ds^

sin (« -h f)coflf — cas (a + ç>) sin 9 — sina = 0.

Cette équation doit être une identité. En effet, elle exprime simplement que Tare a est la différence des deux arcs a + f et 9. Les équations relatives aux deux autres cas rentrent dans la première, en ayant égard aux signes des forces Y et F, et de l'angle 9.

285. Le cheval qui mène un traîneau le long d'une route, avec une vitesse constante, exerce sur ce traîneau une force P, dont la composante Y produit seule un travail ; l'autre composante, X, est perpendiculaire au chemin décrit, et son travail est constamment nul. Le cheval se trouve à l'égard de cette composante dans la situation d'un support chargé du poids X.

Le travail du cheval dû à la composante Y se partage ensuite en deux parties : l'une qui correspond au travail de la pesanteur, et l'autre au travail du frottement. Si la route que le traîneau parcourt est horizontale, le travail développé par le cheval est entièrement absorbé par le frottement.

Remarquons, en passant, que la force X, bien qu'elle ne produise pas de travail, contribue aussi bien que la force Y à fatiguer le cheval, et qu'il y a lieu de réduire cette charge audessous d'une certaine limite, pour laisser à l'animal la liberté