Reprenons les trois équations (1) ; .(t|)=-z

SURFACES DE KIYEAU. 511

Développons le premier membre :

Multiplions la première par dx^ la seconde par dy, la troisième par d%, et ajoutons. Il viendra, en divisant par ds^

équation qui se simplifie, en observant que ce qui donne en différenliant

de de ds de ds di

Le coefficient de dT est donc égal à l'unité, et le coefficient de T à zéro; l'équation prend la forme

dT4-(X<te-HYrfy-HZ<fa)=0. (2)

L'arc « est éliminé. Supposons que X, T, Z, soient des fonctions connues de a;, y, 2; il ne restera plus dans cette relation que la tension T et les coordonnées du point auquel cette tension est développée.

Cela posé, n la fonction \dx + Tdy + U% est la différentielle éCwM fonction 9 (x, y, %) des coordonnées^ on pourra intégrer l'équation (2) indépendamment des équations (1), et l'intégrale sera

C étant une constante arbitraire. Dans ce cas, la tension T est déterminée analytiquement^ à une constante pris ^ pour un point quelconque de V espace.

La tension T a la même valeur pour tous les points qui

512 SURFACES DE KITEÂU.

donnent la même valeur à la fonction 9. Le lieu des points de Tespace où la tension a une valeur donnée, est donc la surface représentée par Téquation

équation qui, en attribuant successivement à la constante différentes valeurs, représente une famille de surfaces le long de chacune desquelles la tension a une même valeur. Une fois la tension connue en un point de l'espace, elle est connue pour tous les autres, car cela suffit pour fixer la valeur qu'il convient d'attribuer à la constante.

Ces surfaces sont appelées surfaces de niveau ; nous les retrouverons dans la théorie des forces vives et dans l'hydrostatique. Leur principale propriété, c'est d'être en chaque point normales à la force F appliquée à ce point. C'est ce qu'indique l'équation

que Ton obtient par hypothèse en différentiant l'équation (4); car elle exprime que la direction de la force F définie par les Y Y 7 d£

cosinus -p» jT» F» ^^^^ ^^ ^°^^® ^'^^** ^^^ ^^® direction ^,

^ , ^, prise comme on voudra sur la surface définie par l'équation (4).

Supposons, par exemple, que la force F soit la pesanteur, et qu'on prenne Taxe OZ vertical ; on aura X=0, Y =0 : de plus Z sera constant si le fil a partout le même poids par unité de longueur. Les surfaces de niveau sont alors définies par l'équation d%=Oy ou, en intégrant, par l'équation

qui représente une série de pians horizontaux. Il en serait de même si Z, au lieu d'être constant, était une fonction de %.

Tous ces résultats exigent que les conditions suivantes soient remplies :

l"" 11 faut que X, Y, Z, soient exprimables en fonction de ^, y, 2, seuls;