PARABOLE DES PONTS SUSPENDUS

2^ Il faut que Xdx + Ydy + Zdz soit une différentielle exacte, c'est-à-dire que les fonctions X, Y, Z, satisfassent aux égalités

rfX rfY rfX rfZ dï d^ éy dx^ dz dx* Si dy*

PABABOLB DES PONTS SCSPEIVDUS.

327. Cherchons la courbe d'équilibre dessinée par un fil qui serait sollicité par des poids répartis uniformément sur la projection horizontale de ce fil, à raison de p kilogrammes par unité de longueur. Prenons l'axe des % vertical et montant. Nous aurons d'abord X=0, Y=0; pour évaluer Z, remarquons que Zds représente dans nos équations la force totale qui agit sur l'élément ds; or ici ce n'est pas Z qui est constant, car il en résulterait que le fil serait chargé d'un poids constant par unité de longueur mesurée sur le fil lui-même. L'élément ds fait avec le plan horizontal un angle

dont le sinus ^ ^ ; le cosinus de cet angle est 1/ 1 — ^-5»

et l'arc ds a pour projection horizontale yjds^—dz* ou Vdx*4-dy*. C'est à cette longueur que s'applique le poids constant p, et Ton doit avoir

d'où résulte

iC signe — indique que la force Ids est dirigée en sens con« traire de Taxe OZ.

Les trois équations d'équilibre nous donnent donc

d(Tjj=l,V^53+?P.

a. •* «ic Gou.ie!io5. 83

514 PAAADOLB

On tire des premières

A et B étant des constantes.

Ces équations nous apprennent que les composantes horizontales de la tension sont constantes en tous les points de la courbe.

Si Ton multiplie la première par dy, la seconde par dx, et qu'on retranche, il vient l'équation

qui intégrée donne

Ay — Bx=C,

équation d'un plan vertical. La courbe est donc plane. Nous pourrons prendre le plan de la courbe pour plan des ZOX; cela revient à faire y = Oet dyssO. La troisième équation devient alors

Intégrant, on a

G désignant une nouvelle constante, et par suite on a i la fois

Multiplions la première par d% et la seconde par dr, et retranchons; il viendra

et en intégrant