DES PONTS SUSPENDUS. M
équation d'une parabole rapportée à son axe Bb et à la tangente en son sommet.
La composante horizontale de la tension en un point quelconque est constante et égale à T^.
CHAINETTE.
329. La chatnette est la courbe d'équilibre d'un fil homogène pesant. Elle diffère de la parabole, avec laquelle on la d'abord confondue, en ce que le poids p« au lieu d'être uniformément réparti sur l'horizontale, est uniformément réparti suivant la courbe elle-même. Il résulte de là qu'il y a très peu de différence entre la chaînette et la parabole dans la région voisine du sommet B des deux courbes; car dans cette région il y a une différence insensible entre la longueur de l'arc de courbe et la longueur de sa projection.
Prenons l'axe des ;s vertical et montant; nous aurons X(f«=0, Yds =:0^Zd8=z — pdsy et les équations d'équilibre deviendront
-'0, i pds.
Des deux premières on déduirait, comme dans le problème précédent, que la courbe est tout entière contenue dans un plan vertical. Prenant ce plan pour plan des ZOX, ce qui revient à faire y = 0, on est ramené aux deux équations
Intégrons. Il vient, A et B étant des constantes,
M8 CHAINETTE.
Nous pouvons supposer la constante B nulle, en comptant sur la courbe les arcs s à partir du point le plus bas, pour
lequel t- =0. On a en ce point x =*» ^^"^ ^ ®^* ^* valeur,
Tq, de la tension au point le plus bas de la courbe. Nous avons ainsi les deux équations :
Ëlevons au carré et ajoutons ; il vient
T«r=T««-hpV,
et par suite
T = VT.«4-pV,
en prenant le radical positivement. Substituons dans les deux équations précédentes, et résolvons par rapport à dx ei d%\ nous obtenons les relations
v/To^'+z^**'
que Ton peut intégrer par quadrature. La première peut se mettre sous la forme
dr-I-X '•
On est conduit à intégrer une différentielle de la forme
du , . ,1 dont l'intégrale est
log nép (u 4- V^ +***)•
Donc
GHAISETTE. 510
La seconde équation s'intègre en multipliant et divisant le second membre par p ; il vient
Les coordonnées xeiz s'expriment ainsi en fonction de Tarc^, mesuré à partir du point le plus bas de la courbe. Nous pouvons effacer les constantes, en choisissant convenablement Torigine. Pour « = 0, c'est-à-dire pour le point le plus bas,
T nous aurons alors a5=0, x= -2 .-L'origine est, d'après cette
convention, un point situé verticalement au-dessous du point
T le plus bas, à une distance égale à -^ . Les équations de la
chainette deviennent
Les radicaux doivent toujours être pris positivement. Ces équations montrent que si Ton change s en — s^ % reste le même, tandis que x se change en — x. En effet la quantité sous le signe log devient par ce changement
Or le produit de cette diHérence par la somme
est égal à l'unité; la somme des logarithmes est donc nulle, et les deux valeurs de x sont égales en valeur absolue et de signes contraires.
On a à la fois les trois équations
Les deux premières nous donnent
f>\ATÇ'=''-
-^Vy^
Remplaçons le radical par sa valeur fournie par la troisième ; il vient
px
To
px
Ajoutons et retranchons ; nous aurons
/ Pî px\
Celte dernière équation définit la courbe. L'autre fait connaître Tare de la chaînette en fonction de Tabscisse.
T Nous avons vu que ^ est la distance de l'origine au-dessous
du point le plus bas de la chatnette ; appelons a cette distance.
L'équation de la courbe prendra la forme
Soient OX, OZ, les axes; prenons OB =a ; le point B appartiendra à la courbe.
Construisons la logarithmique PQ représentée par Féqua-
tion Zzzzae^; elle est asymptote à la partie négative de Taxe
DE LA CUÀINEnB. 521
des x; la courbe %=iae "est une logarithmique FQ' symétrique de la première par rapport à Taxe OZ. Ces deux courbes passent au point B. La chaînette ABC est le lieu des milieux H des intervalles Qff compris entre les deux logarithmiques sur toute ordonnée menée parallèlement à Taxe OZ.
530. Les équations précédentes permettent de faire une étude complète de la chaînette. Hais on peut faire la même étude sans y avoir recours.
Nous allons chercher les principales propriétés géométriques de la courbe, en exprimant qu'un arc quelconque est en équilibre sous l'action de son poids et des tensions qui s'exercent tangentieliement à ses deux extrémités.
Soit ABC la forme d'équilibre à laquelle nous donnons le nom de chaînette. A et C sont, par exemple, les points où s'attache le fil ; B est son point le plus bas.
Prenons un arc quelconque de courbe MN, et menons aux points M et N les tangentes MT, NT, qui sont les directions des tensions T et T. Les deux droites MT, NT', se coupent en un point S, qui se trouvera sur la verticale menée par le centre de gravité de Tare MN, car les deux forces T et T' font équilibre au poids MNxp de **'
Tare, qu'on peut regarder comme appliqué en son centre de gravité.
Décomposons les forces T et T en deux composantes, Tune horizontale T^, l'autre verticale, T^, et T\. Les deux compo* santés horizontales seront égales; quant aux composantes verticales, on aura entre elles la relation
On a enfin à exprimer l'équilibre du couple (T^, — T^) et du couple auquel on peut réduire les forces parallèles T^, T^, et p X UN ; Ée qui conduit à poser l'équation des moments
T|XEN + (pxMN)xFN = T.xMB.
5tt PROPRlÉTfiS
Nous pouvons trouver très facilement une relation entre les tensions T el T. En elTet, prenons un arc infiniment petit BIN (fig. 314), et projetons les trois forces T,r et pxMN, qui se font équilibre, sur la tangente au point M, ou sur la direction de la force T; la force T, qui fait avec Taxe de projection un angle infiniment petit, s*y projette en vraie grandeur aux infiniment petits du second ordre près. Donc la force T' excède la force T de la composante tangentielle de la force verticale p x MN, mais projeter sur la tangenteune longueur proportionnelle à MN, prise sur la verticale, cela revient à prendre cette quantité sur la tangente, ou sur Tare lui-même, et à la projeter sur la verticale, la projection cherchée est donc égale au produit de p par la projection verticale NP de Tare MN, ou par la difTérence de hauteur, ds, des deux extrémités, H et N, de Tare. On a en définitive
Cette relation peut s^étendre à un arc fini BIN quelconque (tig. 313), car on peut toujours décomposer cet arc en éléments aussi petits qu'on voudra, à chacun desquels Féquation sera applicable, et il n'y aura qu'à faire la somme de toutes ces équations pour obtenir l'équation relative à un arc quelconque. Donc
La tension au point le plus bas, B, est horizontale, et par suite égale à T^, puisque la composante horizontale de la tension est partout la même. Appelons H la hauteur d'un point quelconque, M, au-dessus du point le plus bas : la tension T en ce point sera donnée par l'équation
T-T. + pH.
H est la différence z — ^o des ordonnées du point H et du point B.
DE LA CHAINETTE.
On peut représenter les tensions par le poids d'une certaine longueur de fil ; la tension T^ sera, par exemple, représentée par une longueur a de fil fournie par Téquation pa = T^ ; dans cette hypothèse, la tension T en un point M quelconque est représentée par la longueur de fil a + H, car on a toujours
T=iT«4-pH=px(a4-H).
Menons au-dessous de la courbe, à une distance Terlicale Bb=a de son point le plus bas, une horizontale frm (fig. 515).
Le point M de la courbe sera i la distance MP +Pm=H + a de cette droite, et par conséquent Hm représente, en longueur de fil, la tension T au point II. On voit que, si Ion place en M une poulie infiniment petite, et qu'on fasse passer le fil sur cette poulie, Téquilibre sera assuré par le poids du brinM/n, pourvu qu'on donne à ce brin une longueur telle qu'il atteigne sans la dépasser l'horizontale bm.
Nous avons vu tout & l'heure que la composante verticale, T^, de la tension au point M surpasse la même composante en un autre point B, de tout le poids de Tare BM ; soit $ cet arc compté à partir du point le plus bas; la composante verticale étant nulle en B, on aura simplement
La tension totale T est la résultante de deux forces rectangulaires T^ et Tj ; donc
ou bien
Appelons s, pour abréger, la distance totale Mm ; il viendra, en supprimant le facteur commun p,
/ft
