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f>8 Fig. 31S.
équation qui permet de construire géométriquement la longueur rectifiée de l'arc s (Cf. § 214). Cet arc est en effet le second côté de l'angle droit d'un triangle rectangle, dont le premier côté est égal à a, ou à Bb, et l'hypoténuse égale as ou à Mm.
Du point m abaissons mm' perpendiculaire sur la tangente Mm' ; le triangle mm'Vl sera semblable au triangle HT^ T, et par conséquent
mmf Ty pa a
M//» ""T "~p(a-hU)""ani*
Or Mm=a-f-H; donc m'=a.
Le triangle mm'ÎA est rectangle en m'; il a Thypoténuse Mm =2, et le côté de Tangle droit mm' = a; donc le second côté de l'angle droit, Mm, est égal à Tare s.
Le point m' appartient à la développante de ehatnette qui part du point B. On obtient ainsi ces deux théorèmes :
La distance du pied m de V ordonnée Mm à la tangente est constante;
La projection Mm' de ^ordonnée mr la tangente est égale à Parc Bm.
La droile mm' est tangente à la développanic lieu des points m' ; on voit que la portion de la tangente à cette courbe^ comprise entre le point de contact et la droite bm, a une longueur constante. La développante de chainelle qui part du sommet, est pour cette raison appelée tractrice; c'est la courbe décrite sur un plan horizontal par un point matériel tiré à chaque instant par un fil sans poids, de longueur constante m'mj quand Texlrémilé m de ce fil parcourt la droite fixe bm.
Les droites M m' et BP se coupent en un point I qui appartient à la verticale passant par le centre de gravité de Tare BJI. Les triangles IPM, MToT sont semblables et donnent la proportion
qui donne la distance IP.
DE LÀ CHAINETTE.
Fig. 316.
Si du point m on abaisse une perpendiculaire mQ sur la droite MN, normale à la chainelte au point M, on aura dans le rectangle MQmm\ MQ= mm' = a. Donc le lieu du point Q est une courbe parallèle à la cbainette, équidistante et passant au point b.
331. Nous avons fait usage, pour établir toutes ces propriétés, de Téquation que Ton obtient en projetant sur la tangente à la courbe les tensions du fil en deux points infiniment voisins. Projetons les mêmes forces sur la normale MN.
Soit C le centre de courbure d'un arc infiniment petit M' M'' ; menons la normale CM qui passe par le milieu de cet arc, et appelons (ù langleM'' CM'. L'équilibre a lieu entre le poids pds de Tare M' M% qui s*exerce verticalement suivant IIP, et les tensions T et T'.
Projetons ces trois forces sur la droite CN. La projection du poids UV=pds nous donnera d'abord une certaine droite MH, égale au produit de p par la projection sur MN d'une longueur ds prise sur MP; or M'M'^ fait avec l'horizontale WR le même angle que la verticale MP fait avec la normale MN, et par suite la projection de pxds sur la normale est égale au produit p X M'R.
La force T fait avec la tangente à la courbe en M un angle
égal à ^; la projection de T sur la normale est représentée sur
la figure par le côté TT^ du triangle rectangle TT^ M', que l'on obtiendrait en menant par M une perpendiculaire à la direction CN, et par T une parallèle à la même direction. L'angle TMT^ est
égal à langle ^. Or TT^ diffère infiniment peu de Tare décrit
du point M' comme centre avec M'T pour rayon, lequel arc a
pour longueur T X 5. De même la projection de T sur CN a
pour valeur T' x ô* et la somme de ces deux composantes
est égale à (T + T) x g.
On a donc pour Téquilibre
OU bien, en observant que les tensions T ou T sont infiniment peu différentes Tune de l'autre, et que I on peut par conséquent substituer à leur somme le double de Tune d'elles, 2T,
T« = pxlI'R.
Dans cette équation, remplaçons (o par le rapport de
P Parc WW au rayon de courbure CM; remplaçons de même T
par sa valeur p%j ou p x Mm, il viendra
pXMmX^^^ = pxM'R,
OU bien
p U'%'' Mm"" M'R •
Prolongeons la normale jusqu'au point N où elle coupe la droite bm; les triangles M m N, H'RM'', qui ont leurs côtés respectivement perpendiculaires, sont semblables et donneDt la proportion
Mm "■ M'K '
Donc p=:MN.
Dam la chatnette^ le rayon de courbure en un point donné H est égal à la portion de nomude comprise entre le poini M et la droite bm.
Il résulte de là que si Ton fait tourner la chaînette autour de la droite bm, la surface de révolution qu'elle engendre, et qiie nous avons appelée alysséide (g 214), aura pour rayons de courbure principaux les longueurs égales, MG et MN.
DE LA CUAIKETTE.
Vindicatriu de lasfirface sera donc une hyperbole équilatère. L'hëlicoîde gauche à plan directeur, qui, comme nous l'avons observé, est applicable surTalysséide, possède la même propriété.
332. Remarquons que la forme de la chaînette dépend uniquement de la longueur a; en d'autres termes, la chidnette n*a qu'un seul paramètre^ comme le cercle, la parabole, la cydoîde, la logarithmique, et par conséquent, toutes les chaînettes sont des courbes semblables. *
PROPfilÉTÊ DE MIinMOM DES G0DRBR8 PUNIGUUIBES.
333. Revenons au cas particulier dans lequel X, T, Z sont donnés en fonction des coordonnés x, y, s, et supposons de plus que \dx + Ydy + Zd% soit la différentielle exacte d'une fonction 9 (x, y, %) de ces coordonnés. L'équation
où G représente une constante arbitraire à laquelle on peut attribuer successivement une infinité de valeurs, représente une famille de surfaces de niveau, normales en chacun de leurs points à la force (î. Y, Z) qui y serait appliquée par unité de longueur de fil.
Soit ACB la forme d'équilibre du fil soumis à ces forces ; prenons sur la courbe deux points A et B assez voisins pour que Tare ACB ne coupe qu'une fois chacune des surfaces de niveau S', S% S'*,..., S qui passent entre ces deux points.
La courbe ACB jouit d'une propriété de minimum qui la distingue de toute autre courbe joignant le point A au
PJg. M7.
