PROPRIÉTÉ BE MINIMUM

point B. Pour définir cette propriété, observons que Téqualion

fait connaître à une constante près les valeurs de la fonction T en tous les points de Tespace. On a en efl'et, en intégrant,

T + f(«, y, *)=const (2)

Cette fonction T représente la tension du fil en chaque point de la courbe ACB. Convenons qu'elle représentera aussi pour nous la te^ision en chaque point de toute autre courbe ACB, menée entre les mêmes points A et B, bien que ce mot de tension n'ait plus alors de signification mécanique comme lorsqu'il s agit d'un fil ; de sorte que nous puissions dire qu'il y a une tension T, fournie par Téquation (2), en un point m' de la courbe AG'B. Les tensions étant constantes tout le long d'une même surface de niveau, la tension fictive en m' sera égale i la tension réelle développée dans le fil au point m.

Nous allons faire voir que Tintégrale JTdSy prise entre les points A et B le long de la courbe ACB, est plus petite que la même intégrale prise le long de toute autre courbe ACB, joignant les mêmes extrémités ; qu-en d'autres termes, la courbe d'équilibre rend cette fonction minimum. Il suffit, pour établir ce théorème, de démontrer que l'intégrale fids ne change pas de valeur, aux infiniment petits du second ordre prés, quand on passe de la courbe d'équilibre ACB à une courbe ACB infiniment voisine.

Étudions la variation de cette intégrale. Pour cela, prenons un élément mn::= dj sur la courbe d'équilibre, et comparons-le à Télément m'n\ compris entre les mêmes surfaces de niveau sur la seconde courbe. Les tensions T étant les mêmes pour ces deux éléments, puisqu'ik sont compris entre les mêmes surfaces de niveau, l'élément de Fintégrale Ids subit seulement la variation du facteur <fo, et s'accroît de la quantité Ti(ds) en désignant par i(ds) la différence m'n' — mn des deux arcs. Pour comparer les deux courbes, nous avons donc à faire la somme /TSck, entre les points A et B. On peut y par-