PROPRIÉTÉ DE MINIMUM

Remplaçons d ^T ^) par — Xds, d (t ^\ par — Yds, d( T ^ j par — Zds; la seconde somme devient

somme identiquement nulle, car tous les éléments sont séparément égaux à zéro, puisque le déplacement (&r, ijf, h) étant pris le long de la surface de niveau, ses projections satisfont à Téquation différentielle

de cette surface.

Donc ta variation de l'intégrale fTds est nulle quand oa passe de la courbe ACB à une courbe infininient voisine, et par suite fïds est ou minimum ou maximum le long de ACB, sauf les cas particuliers où la variation seconde serait aussi nulle. Et comme il est évidemment impossible que ftds soit un maximum, on peut dire que cette int^rale est ea général un minimum.

334. Cette conclusion subsisterait encore si le fil était appliqué sur une sur&ce sans frottement ; la réaction normale de la surface n'altérerait en rien la forme des surfaces de niveau; seulement il faudrait comparera la courbe d'équilibre ACB d'autres courbes tracées entre les mêmes points A et B sur la môme surface.

Remarquons aussi que la résultante de la tension T agissant en n suivant nm^ et de la tension T+dT agissant en n dans la direction np, est égale et contraire à la force ¥d$ que l'on peut regarder comme appliquée au point n, et qui est normale î la surface S suivant laquelle on imprime un déplacement au point n. Le contour fiinp, dans lequel m et p seraient considérés comme fixes, le sommet n restant seul mobile le lopg de la surface S, satisfait donc (§ 120) à la condition qui rend minimum la fonction

mn X T + npX (T -fin).