DES COURBES FUNICULAIRES
Il serait facile d'étendre cette propriété à la courbe entière ACB, ce qui démontre encore la proposition.
335. Montrons enfin comment le calcul des variations conduirait à la même conclusion. Nous ne ferons cette fois aucune hypothèse sur les déplacements imprimés aux divers points de la courbe ACB, pour les amener sur la courbe infiniment voisine ACB. Soient iXy 8y, i% les composantes de ces déplacements. Nous avons à démontrer que
Or
i/TA= /i(Tdt) = /ardf + ftm.
Gomme nous avons l'équation générale nous avons aussi
^-fX^« + Tey + Z«saO.
Calculons ensuite Nous avons
Passant aux variations, il vient
diidê =s dxiâx -h dyidy + dzSd%,
et par suite
L'intégration par parties sépare les caractéristiques d et 8; on a en effet
5^2 ' PROPAIËTÉ DE MINIHUH.
De môme Donc enfin
-/[^(T^)H-e^(Tg)-H,^(Tg)].
Mais
D'ailleurs les variations &r, Sy, Ss, sont nulles aux limites A et B de Tintégralion. On a donc, en prenant l'intégrale entre ses limites,
ftSds «= JÇLdsix + Ydêiy + UêSz) = — f^dê.
Par conséquent
JTids + /îTrf» = 9STd$ = 0,
et la proposition est démontrée.
336. Application de la ehatnette. — La courbe funiculaire devient une chaînette quand on fait X = 0, Y = 0,. Z = — p, quantité constante.
L*équation
T+fsconst.
prend la forme T — p« = C, C étant une constante. Entre deux points A et B, pris sur la chaînette ACB, Tinlégrale /T(fe est minimum; donc /(p«H-C)(fe, ou pfzds-hCfds
est minimum le long de la courbe. Or v ^ ou ^Lr- est ^ fpds fds
l'ordonnée verticale du centre de gravité de l'arc ACB. Comparons Tare ACB dé chaînette à Tare ACB d'une courbe ayant
DES COURBES FUNIGUUIRES. 535
même longueur. L*inlcgrale fils étant la même pour les deux courbes, les ordonnées des centres de gravité seront entre elles comme les valeurs de l'intégrale fzds; or cette intégrale est minimum pour la chaînette. Donc de ^,J
toutes les courbes de mime longueur qui joù ^2^c
gnent deux points donnés , ta chatnette est -^ telle qm a son centre de gravité le plus bas possible : proposition que Ton aurait pu dé- " Ht
duire de la théorie exposée g§ 236 à 240 *. "»• '*^
On peut ensuite appliquer le théorème de Guldin (g 206), et on parvient à cette nouvelle proposition : de toutes les surfaces de révolution que Von obtient en faisant tourner autour d^une droite HH' les diverses courbes isopérimètres ACB que Von peut tracer dans un plan passant par W! entre deux points don- ^
nés X et By celle qui a la moindre su- 5 " ?
perfide est engendrée par la chaînette ^^^' ^'^
qtii joint ces deux points j la pesanteur étant censée agir perpen^ dieutairementàEHi'.
PROBLÈME DE MIMIUUU.
337. Étant donnés dans un même plan deux points A el B et une droite OX (lig. 319), on demande de tracer dans ce plan utie courbe AmnsB, qui joigne les deux points, et telle qu'en la faisant tourner autour de OX : l"" le volume engendré par la figure AabB, terminé aux deux perpendiculaires Aa, Bb, et à la eourbcy soit égal à une quantité donnée; 2* la surface engendrée par la courbe elle-même soit minimum.
* La chainelte et Texemple indiqué g 240 montrent bien que Féqullibre d'un système pesant à liaisons est assuré dès que son centre de gravité est le plus bas-pos- 8U>le, lors même que les liaisons ne suilisent pas pour assujettir le centrede gravité à décrire une ligne ou une surface. Cette condition était supposée dans les gg 235 et238.
PROBIÈHB
FIg. 3».
Supposons que la courbe AmnB satisfasse à ces deux conditions. Si on laltëre infiniment peu, suivant le trace Am'fiYB,
de manière à laisser constant le volume engendre, la surface engendrée par la nouvelle courbe sera égale, à des infiniment petits d'ordre supérieur près, à la surface engendrée par la courbe primitive ; c'est la condition da minimum •
Rapportons la nouvelle courbe à Tancienne. Pour cela, appelons tt rintervalle rnnC compris entre les deux courbes, mesuré sur la normale mR à la courbe primitive; la quantité Il portera un signe, suivant que l'intervalle des deux courbes tombe d'un côté ou de Tautre de la première. A chaque arc mn de la courbe primitive, correspondra un arc m'n' sur la courbe déformée, et ces deux arcs, faisant entre eux un angle infiniment petit, peuvent être considérés comme parallèles. Soit C le centre de courbure de Tare ma^ ou le point de rencontre des deux normales consécutives mR, nS. Les triangles Cmn, CmV, étant semblables, donnent, en appelant p le rayon de courbure Cm, et cb, d^ les arcs im^ mV^ la proportion
ds
:£±îf.
Donc
dr
L'élément de surface plane mnn'm' a pour mesure tub, et dans sa révolution autour de OX, il engendre un élément, Sicytub, de la différence entre les deux volumes, en appelant; Tordonnée mp. Cet élément a le signe de a. Nous poserons, suivant la méthode indiquée par Cauchy,
yudi = ff{$)
la fonction ^(s) est assujettie à s'annuler au point A pour ^=0, et au point B pour « = AB ; pour toutes les valeurs intermédiaires, elle reste arbitraire et infiniment petite. On en déduit, en différentiant et en divisant par dsj
L'arc mn engendre dans sa révolution autour de OX un élément de surface égal à iiyds; l'élément mfn' engendre de même un élément 2x y^d^, en appelant y' l'ordonnée mY. De sorte qu'en supprimant le facteur constant 2^, la condition du minimum se traduit par Féquation
Nous connaissons déjà ds' en fonction ds. Pour évaluer de même y\ observons que la différence y — j/' est égale à la projection sur Taxe OTde mm' ou de u; on aura donc, en appelant a Tangle de la tangente à la courbe avec l'axe OX,
et
y'=y — ucosa.
Substituant à y" et à d^' leurs valeurs, et développant, il vient
I ydêss j [y — ticosa)(l + - ]<^
s I 2/</*— f ttCOSfltrf» + I — fl«— I — cosaïf». Ja Ja Ja P Ja ^
Réduisant, et suppïimant le dernier terme qui est infiniment petit par rapport aux autres, on a pour condition du minimum
r /2îfrff-.ticOSa(/»] = 0.
S5« PROBLÈMB
Hais cos a est le rapport de l'ordonnée mp à la normale fnR^ Soit mR=N; on aura cosa=^,et
L'équation devient donc
Remplaçons yu par sa valeur 9' («), et intégrons par parties, n viendra
fonction qu'il faut prendre entre les limites correspondantes aux points A et B; or à ces limites 9 (<) est nul.
L'intégrale j 9{s)d ( «jj doit donc être nulle le long
de la courbe entre les points A et B, quelle que soit la fonction arbitraire 9(«).
Il faut et il suffit pour cela qu'on ait en tous points
ou bien
- — -p = constante.
On remarquera que le rayon de courbure mC, et la normale tnRj sont les rayons de courbure des sections principales de la surface engendrée par la révolution de la courbe cherchée autour de Taxe OX; ces rayons de courbure devant d'ailleurs être pris avec des signes contraires dans la situation de la figure, puisqu'ils sont dirigés en sens opposés, on
peut regarder » comme la somme algébrique des courbures
principales, et exprimer la propriété de la surface en disant que sa courbure moyenne est constante.
La chatncltc est un cas particulier de cette espèce de courbe ;
1 1 elle correspond à p=N, et à — î« = 0.
9 ^ On sait que la chaînette peut être engendrée par le foyer
d'une parabole qui roule sur une droite fixe (I, g 148). Les
courbes comprises dans Téquation
j^= constante peuvent 61 re décrites de même par le foyer d'une section conique roulant sur la droite OX*.
En effet, Téquation différentielle de la courbe qui en roulant sur la droite OX engendre la ligne AB est, entre les coordonnées polaires N et 0,
Fig.SSL
f{N) étant la valeur delà tangente de Tangle R = GRO, exprimée en fonction de la longueur N=mR (I, g 146). Déterminons d'abord cette fonction. Du point R, abaissons RR' perpen? diculaire sur CS; la distance R'S sera égale à dN. On aura dans le triangle RR'S,
liais les triangles semblables Gmn, GRR^ donnent
da étant Tangle mCn. Cet angle, pris négativement, est la différence CSO — CRO, ou la variation de l'angle R; nou^ aurons donc entre R et N l'équation différentielle
ou bien
dW = -dR(,H.N)Xj5ï^.
du
tangR^N + p
' Ce théorème a ^té découTert par Delaunay..
538 PROBLËMK
Or on a entre N et p la relation
a étant une constante; ce qui permet d'éliminer p. n vient alors
fl + B
ou bien, en décomposant la secondé fraclion en fractions simples,
<<R . (W + fl) ^ dh . dH d^
D'où Ton tire en intégrant ou bien
log 8in R + 5 log N + slog (N + 2a) = constante.
sinRs •
On en déduit
langR:
par conséquent
VN{N + 2a)— G»'
et l'équation polaire de la courbe roulante est
VN« + 2aN— G" «■
Nous retrouTerons cette équation dans la dynamique en traitant le problème du mouTement elliptique des planètes. L'intégration donne
6 = 0« -f arccos. I r — B j ,
dans laquelle A et B sont des constantes exprimables en fonction des quantités a et G, et 6^ une constante arbitraire. On satisfait en effet à l'équation difiérentielle proposée en feisant
=n et V ^ n«=fl> Les conslantes étant ainsi doterai B« 1— B»
minées, on aura entre N et 0 la relation
B + cos(6~a.) 4 + Jco8(fl-M
qui définit une section conique rapportée à son foyer.
ÉQUIUBRE d'un Fa APPLIQUÉ SUR UKfi SURFACE.
538. Supposons qu'un fil sans pesanteur soit appliqué sur une surface qui n'exerce sur lui aucun frottement* Les seules forces qui agiront sur une portion quelconque de fil seront les tensions en ses deux extrémités et les réactions normales de la surface. Prenons sur le fil un arc infiniment petit AB ; cet arc pourra être confondu, sans erreur appréciable, avec un arc de cercle ayant pour centre C le centre de courbure de la courbe dans Tintervalle des points A et B. Les réactions de la surface sur l'élément AB se composent en une force unique IN, normale à la surface, et par suite normale à la courbe, qui fait équilibre aux tensions T et T. Les trois forces T, T et N sont ainsi dans un même plan ; la normale IN à la surface est située ^^ ^'
dans le plan des deux tangentes infiniment voisines AT et BT, ou dans le plan osculateur; c'est donc la normale prindpale de la courbe, et elle passe par le centre de courbure C. En d'autres termes, la normale à la surface coïncide avec la normale prindpale à la courbe.
Projetons les trois forces N, T et T' sur la tangente à la courbe au point I. Les forces T et T faisant des angles infiniment petits avec cette tangente se projettent en vraie grandeur, tandis que la force N, normale à Taxe de projection, a une composante nulle. Donc T=T; et par conséquent la tension est la même en tous les points du fiL
540 EQUILIDRE D'UN FIL
Le théorème du travail virtuel conduit au même résultai. Prenons une portion finie quelconque de fil ; elle est en équilibre sous l'action des deux tensions extrêmes, T et T\ et de toutes les réactions de la surface, qui sont normales ; cela posé, imprimons au fil un déplacement longitudinal, e, commun à tous ses points et infiniment petit. La somme des travaux des tensions T et T' sera égale à T e — T' e, ou à (T — T') s, et cette somme doit être égale à zéro, caries travaux des réactions sont nuls; donc enfin T=T',
Cherchons la réaction de la surface.
Soit do) l'angle de contingence ACB, égal au rapport, —,
de l'arc AB au rayon de courbure G A. La projection des trois forces N, T, T, dont les deux dernières sont égales, sur la direction de la force N, donne la valeur de la réaction. Nous avons obtenu, dans un cas tout semblable (g 531), Téquation suivante
ou bien
^est la réaction de la surface rapportée à l'unité de longueur du fil ; on voit qu'elle ost égale à la tension T divisée par le rayon de courbure p de la ligne dessinée par le fil ; mais T est partout le même ; donc la réaction de la surface rapportée à Vunité de longueur est inversement proportionnelle au rayon de courbure.
339. La ligne d'équilibre d'un fil appliqué sur une surface jouit de cette propriété, qu'elle a entre deux quelconques de ses points la plus petite longueur possible. Car le fil, d'abord placé de manière à passer par deux points donnés, sera amené par la tension à occuper la position où il ne peut plus subir de raccourcissement. Cela résulte aussi de ce que la tension est constante tout le long du fil. Si Ton en fixe deux points A et B, l'intégrale fTds sera minimum pour la courbe que dessine le fil entre ces deux points; le facteur T
