APPLIQUÉ SUR UNE SURFACE. S
étant constant peut sortir du signe /, et, par conséquent, Vrtc fds est minimum pour la courbe d'équilibre entre les deux points A et B.
On appelle lignes géodésiques les lignes qui, sur une sur^ face donnée, ont la longueur minimum. Elles ont ce caractère géométrique que leur plan osculateur en un point quelconque est normal à la surface ^ Par exemple, les lignes géodésiques de la sphère sont des arcs de grand cercle ; sur le cylindre droit à base circulaire, ce sont des arcs d'hélice, et comme cas particulier, les cercles de section droite ou les génératrices rectilignes.Surle plan, les lignes géodésiques sont des droites; pour toute autre ligne, le plan osculateur coïnciderait avec la surface au lieu de lui être perpendiculaire.
Lorsqu'on applique sans déchirure ni duplicature une surface sur une autre, des lignes quelconques tracées sur la première conservent leurs longueurs sur la seconde, et les angles sous lesquels elles se coupaient restent aussi les mêmes après la déformation. Les lignes géodésiques de la première surface se transforment donc en des lignes géodésiques sur la seconde. Les lignes géodésiques d'une surface développable deviennent des lignes droites quand on applique la surface sur un plan.
On voit par là que la sphère n'est pas développable. Car un triangle sphérique formé par trois arcs de grand cercle, ou par trois lignes géodésiques, se transformerait sur le plan en un triangle rectiligne, et les angles des deux triangles seraient respectivement égaux, ce qui est impossible, puisque la somme des angles du triangle rectiligne est égale à deux droits, tandis que la somme des angles du triangle sphérique
* • Claibaut a remarqué le premier, dans les Mémoires de F Académie des a iciences de 1733, que, quelle que soit la figure de la terre» la ligue qu'on y € tracerait en plantant continuellement des piquets perpendiculaires à l'horizon,
< de manière qu'ils soient effacés les uns par les autres, comme on l'a pratiqué c dans la description de la perpendiculaire à la méridienne de Paris, aurait la
< propriété d'être la ligne la plus courte entre tous ses points. » (Lagrange.. Calcul des fonctions, leçon XXII.) En etfet, les plans osculateurs de la ligne sont en tous points vcrlicauz, c'est-à-dire normaux à la surface de la terre. L'expression de ligne géodésique est venue de cette consUuction.
542 UGNBS
surpasse deux droits de là quantité appelée excès sphirique, proportionnelle à l'aire du triangle.
540. Cherchons les équations différentielles des lignes géodésiques d'une surface donnée
Nous nous servirons pour cela de la condition de minimum de Tare
ou
Mais
Substituant, et intégrant par parties, pour séparer les caractéristiques d et 8, il vient
Le terme hors du signe / est nul aux limites, puisqu'on suppose fixes les extrémités de Tare de courbe considéré. Quant a la fonction sous le signe /, elle renferme les trois variations Sx, 8y et S« ; mais ces trois variations ne sont pas indépendantes les unes des autres, car les déplacements imprimés aux points de la courbe s'effectuant sur la surface F = 0, les variations satisfont à l'équation différentielle
On peut donc exprimer i% en fonction de Sx et de Sy . Substituant sa valeur dans la fonction sous le signe /, il vient en définitive
6É0DÉSIQUES. 545
L*intëgrale doit se réduire identiquement h zéro, quelles que soient les variations indépendantes ix et 3y. Il faut et il suffit pour cela qu'on ait tout le long de la courbe les deux
équations
■dx
dx ^d» A
dz
ÎIAq
lies
ou bien la série d*é^lités
dx dy di
Telles sont les équations différentielles des lignes géodésiques delà surface F=0. Elles expriment que la direction qui fait avec les axes des angles définis par les cosinus
\l{.'t)'^('i)'^{'tt ^
c*e8t-à-dire la direction de la normale principale à la courbe* coïncide avec la direction définie par les cosinus
dF dz
5a LIGNES GËODËSIQUES.
c'est-à-dire avec la direction de la normale à la snrrace : thterëme que la statique nous avait immédiatement donné.
THÉORÈME DE LANCHET.
341. Étant donnée dans V espace une courbe quelconque^ L, on peut faire passer par cette couibe une surface dévdoppàbk dont cette courbe soit une ligne géodésique.
En effet, menons par les tangentes à la courbe en des points très rapj^rochés, Â, B, C, des plans normaux aux normales principales, ou, ce qui revient au même, normaux aux plans osculatcur^». Ces plans $e couperont deux à deux suivant des droites, et à la limite, lorsque les points A, B, C se seront indéfiniment rapprochés, la surface S qui contient ces droites sera Tenveloppe des positions du plan mobile; ce sera donc une surface dëveloppable. Ses plans tangents successifs sont normaux aux plans osculateurs de la ligne L; donc cette Ugne est une ligne géodésique de la surface S.
Si l'on développe la surface S sur un plan, la courbe L se transformera en ligne droite sans altération de longueur. La surface S est la surface rectifiante de la courbe donnée.
rig. 5S.
