OBSERVATION SUR LA THÉORIE DES MOUFLES

358. La condition d'équilibre de la poulie et des moufles a été, comme la théorie du levier. Tune des bases de l'ancienne statique ; on peut y rattacher le théorème du travail virtuel.

Considérons un système matériel en équilibre sous l'action de forces F, F', P..., respectivement appliquées endos points A A' A*

Supposons que les forces F, F\ F'..., soient proportionnelles

à des nombres entiers, m, m\ m',..., et soit T la valeur com-

p p p mune des quotients —, -7 , -^j .... Il sera toujours possible de

trouver des nombres entiers qui soient proportionnels aux forces données , sinon rigoureusement, du moins avec une approximation aussi grande qu'on voudra.

Remplaçons la force F (fig. 342) par une paire de moufles dont l'une, B, sera attachée au point Â, et dont l'autre, C, sera traversée en son

572 DËHONSTRATION DU THËORÈIIB

centre par un axe fixe 0 choisi de telle sorte, que la droite AO coïncide avec la direction de la force F. Nous composerons ces moufles d'un nombre de poulies tel, qu une section Taite dans les fils entre les deux chapes B et C nous donne m fils tendus.

Nous pourrons de même remplacer la force F' appliquée en A' par une paire de moufles présentant m' cordons, et nous pourrons faire passer sur les poulies de cette seconde paire le fil CD qui quitte la première au point C.

De même, pour produire au point A" la traction P', nous appliquerons en ce point une troisième paire de moufles à nf cordons, sur laquelle nous ferons encore passer le même fil à sa sortie de la moufle précédente.

Si Ton opère ainsi pour toutes les forces, il suffira d'appliquer au bout du fil un poids égal à T, pour produire partout dans le fil une tension T, et pour développer dans les liens qui attachent les chapes aux points A, A', A'\..., des tensions mT, w'T, m"T,..., égales aux forces F, F', F',...

Cela posé, donnons au système matériel un déplacement infiniment petit quelconque, compatible avec ses liaisons ; ce déplacement va faire varier les distances respectives des points A, A', A'^ ..., aux points fixes 0, 0', O', ..., auxquels ils sont réunis par les moufles ; soient e, e', e", . . . , les variations des distances OA, O'A', O^A',.., prises positivement quand la distance diminue, négativement quand elle augmente. Cette variation va produire un déplacement du fil à la surface des poulies; pour une diminution de e dans la distance des points B et C, il se déroulera de la paire de moufles BC, qui est à m cordons, une longueur de fil égale à me; les variations t% e*, ... des autres distances produiront de même le déroulement (positif ou négatif) de longueurs de fil respectivement égales à mV, à fift"^ ...; en définitive, le déplacement imprimé au système produira sur le poids tenseur T une descente totale égale à

m« -|-mV-|- m'tF 4- . . .

Or ce poids tenseur est la seule force qui, étant donnée la

ou TRAVAIL VIRTUEL. 673

nouvelle constitution du système, puisse y produire un déplacement eflectif ; comme il tend à descendre et non à monter, on est certain que le déplacement fictif que nous avons imprimé au système ne pourra se produire si la somme

est nulle ou négative.

Mais si les déplacements du système sont possibles dans les deux sens, on pourrait, dans le cas où cette somme serait négative, la rendre positive en considérant un déplacement contraire au premier (g 107). 11 l'aut donc qu'elle soit nulle pour que le poids T ne puisse descendre ni par l'un ni par l'autre de ces deux déplacements contraires. Donc enfin, pour que le système soit en équilibre, c'est-à-dire pour qu'aucun déplacement ne puisse y résulter de Faction simultanée des forces, il faut et il suffit que la somme me -f- mV + mV + . . . soit nulle pour tout déplacement compatible avec les liaisons, ou, ce qui revient au même, que la somme

TiiM-f TmV -H Tm'V H- . . •,

ou encore la somme

Ff4-F't' + F'V'+ ...

soit égale à zéro, quel que soit le déplacement fictif que Ton considère.

Cette proposition n'est autre chose que le théorème du travail virtuel. La démonstration très simple que nous venons de donner est tirée de la Mécanique analytique de Lagrange.

ÉQUILIDBE OE LA POULIE ET DES MOUFLES QUAND ON TIENT COMPTE DU FROTTEMENT ET DE LA RAU)£UR DES CORDES.

359. Soit 0 (fig. 343) le centre et BC la circonférence d'une poulie sur laquelle passe la corde DE ; une puissance P et une résistance Q sont appliquées aux extrémités de cette corde. Nous pouvons regarder la ibrce P comme tangente à la poulie au