MOUVEMENT PERMANENT ÛTN HL
de rëlëment égal qui y fait suite. Nous supposerons que le fil soit homogène, c'est-à-dire de poids constant par unité de longueur, et qu'il soit soumis sur chaque élément ds à une . force Fds, du même ordre de grandeur que Télément luimême ; en outre que les forces F soient connues en grandeur et en direction pour tous les points de la courbe continue dessinée par le fil.
Cela posé, nous allons démontrer que la forme d'équilibre du fil en repos sous l'action des forces F« convient aussi au mouvement du fil dans sa propre direction, avec une vitesse t; constante.
Pour fixer les idées, nous supposerons que le fil dessine une courbe fermée AB, à la façon d'un cable télo-dynamique. Cette courbe étant, par hypothèse, la courbe d'équilibre du fil sous l'action des forces ¥ds qui sont appliquées à chaque élément, imaginons un déplacement virtuel du fil le long de sa propre direction, chaque élément ds=1éW prenant la place de
l'élément suivant M'M'^. L'équilibre ayant lieu, la somme des travaux virtuels des forces est nulle, et, puisque le déplacement is est commun k tous les points, on a l'équation
l0SF<<tGos/âisO,
y, étant l'angle de la force ¥ds avec la direction MM' du déplacement, et la somme Z étant étendue à tout l'ensemble du fil. Dans le mouvement permanent tel qu'il a été défini, chaque élément MM' prend dans le temps dt la place de l'élément
égal M'M*'; la vitesse v=^ est donc la même à l'instant
t pour tous les points du fil ; je dis de plus qu'elle est cons-
623 HOUTEHEI^T PERUA!(EKT
tante, c'est-à-dire qu'elle est la même à l'époque telk l'époque t-hdt.
Le théorème des forces vives, qu'on établira en dynamique, démontre immédiatement cette proposition. En effet suivons le fil en mouvement pendant l'intervalle de temps dt. Le travail réel des forces F dans ce mouvement est identique au travail virtuel que nous considérions tout à l'heure, et s'exprime par le produit du chemin ds par la somme algébrique ZFcos|jid« des composantes tangentielles des forces. Le travail étant nul, la somme des forces vives reste constante. Il en est de même par conséquent de la vitesse v, qui est commune à tous les points.
Ainsi la vitesse v reste constante à toute époque, ce qui revient à dire que le mouvement permanent d'un fil est en même temps un mouvement uniforme.
391 . Nous nous appuierons pour achever la démonstration sur un autre théorème de dynamique,celui de d'Alembert, qui ramène tout problème de mouvement d'un système matériel à un problème d'équilibre, moyennant l'adjonction des forces d'inertie aux forces réellement appliquées à ce système. La force d'inertie a en général deux composantes, l'une tan-
gentielle, et égale à — m-j- > Tautre dirigée suivant le prolon-
gement du rayon de courbure , et égale à m— s m représente
la masse du point mobile, ou le rapport - de son poids P à
l'accélération g due à la pesanteur, et p le rayon de courbure de la trajectoire. Dans le cas présent la première composante est nulle, puisque la vitesse ne varie pas avec le temps. Il reste la composante centrifuge, qui pour l'élément }IOA'=ds est
égale à - — X— » p désignant le poids de l'unité de longueur
9 P du fil, et p le rayon de courbure de la courbe funiculaire.
ds On peut substituer à — l'angle de» de contingence. En résu-
D'UN FIL HOMOGËKE. 929
më, le fil en mouvement permanent conservera la même forme dans le mouvement que dans le repos, moyennant qu'à
chaqueforceFd^on adjoigne une force ^—do), appliquée nor-
if
malement au fil, suivant le prolongement de son rayon de courbure. Il est facile de reconnaître que ces foit^es normales sont équilibrées par un excès de tension du fil, sans qu'on ait besoin de rien changer à sa forme. Soient T et T' les valeurs des tensions aux deux bouts de l'élément MM' lorsque le fil est en repos. Construisons l'indicatrice : pour cela par un point 0 quelconque, menons des droites Om, Om' parallèles aux tensions; on sait que l'élément de Tindicatrice Tnm\ qui complète le triangle 0mm', est égal et parallèle à b force ¥ds qui sollicite l'élément correspondant MM' de fil. Supposons que dans le fil les tensions T augmentent toutes à la fois d'une même quantité 6 ; et cherchons comment il faut modifier les forces ¥ds pour que le fil conserve sa forme d'équilibre. La courbe ab se transformera dans une nouvelle courbe a'b\ qu'on obtiendra en prolongeant de la quantité constante 6 tous les rayons vecteurs, et les éléments nn' de la nouvelle indicatricedonneront les nouvelles valeurs et les nouvelles directions des forces. Mais menons par le point m une droite mh égale et parallèle à mV, et joignonsAn, An'. Nous aurons An'= mm', et nA=:mn X angle nmh=Qxd<Ù9 puisque l'angle nmA, égal à l'angle mOm', est l'angle de contingence de la courbe funiculaire. La force nn' peut être regardée comme la résultante de deux forces, dont l'une An' n'est autre que la force Fds, et l'autre 6d(d est parallèle à la normale principale de la courbe funiculaire, prolongée vers l'extérieur. On peut pren-
dre 6 égal à ^— ; alors la nouvelle force nn' est la résultante
de la force donnée Vas et de la force d'inertie centrifuge ^-— dw ,
et la nouvelle indicatrice a'b' correspond à la même courbe funiculaire, sauf l'augmentation uniforme des tensions ; de sorte que les conditions de l'équilibre sont satisfaites pour le
tô4 HOUYEMENT PBRVANERT DUN VU
fil à Tétat de mouyement comme pour le fil en repos, moyennant que les tensions augmentent toutes d'une même quantité,
392. Cette proposition sur le mouvement permanent des lignes funiculaires a été démontrée pour la première fois par M. Resal pour la chaînette, et étendue à toutes les courbes funiculaires par M. Léauté dans ses recherches sur les cflbles télo-dynamiques (^). Dans le cas d'une courbe non fermée, comme la chaînette, le théorème s'applique encore si Ton considère un fil indéfini, dont une portion seule aurait été animée d'un mouvement uniforme en suivant la chaînette entre deux points situés au même niveau ; autrement le travail de la pesanteur ne serait pas nul sur la portion du fil en mouvement, ce qui est essentiel pour que la vitesse reste constante.
Dans les cables télo-dynamiques, les deux brins en mouvement dessinent des chaînettes de paramètres ditTérents, puisque la tension n'est pas la même dans les deux; mais le mouvement permanent n'est qu'une solution moyenne, pour ainsi dire, du problème du mouvement du câble; il se complique d'une série d'oscillations autour de la forme moyenne d'équilibre, qui dépendent des conditions initiales : ces oscillations altèrent les positions des points de contact du câble avec les tambours qui le soutiennent. La question des oscillations, qui rentre dans le problème du mouvement général d'un (il, est traitée avec beaucoup de succès par M. Léauté dans un mémoire inséré au Journal de FÊcole polytechnique (L« cahier, tome XXXI, 1881).
SUBSTITUTION APPROXIMATIVE d'uNK FOWCTION LINÉAIBE A Ulf RADICAL CARBÉ DE LA FORME ^ X^ — y*.
393. On connaît la substitution approximative donnée par Poncelet d'une fonction linéaire Mx + Ny à un radical carré
(^) Comptes rendus de TAcadémie des sciences, 10 noT. iSTO» 1880, p. 290^
354, 498, 587, etc.
PROBLÈME D'APPROXIMATION. CÏ5
de la forme s/x^'+-if (§ 275). M. Léaulé (*) a montré que la môme solution s'clendait au radical y^x* — y*, qu'on peut représenter par la formule linéaire Mx— Nj/, en remplaçant les sinus et cosinus circulaires de la formule de Poncelet par des sinus et cosinus hyperboliques. Si Ton appelle a et ^ deux arcs tels que leurs langentcs hyperboliques soient égales
aux valeurs extrêmes du rapport -, on aura Tégalité approximative
2 Cos hyp. ^li 2 Sin hyp. ?-+?
yx'* — t/' = ■ X -^ — ^— — ^-~-.^^.^--— . M,
(cos hyp, tZ-^y (cos hyp, ?L=iy
avec une erreur moindre que
(ïangAyp.^Lzjy.
La méthode consiste dans les deux cas à tracer là courbe dont l'équation est a7'±y'=l, pour n'avoir à comparer entre elles que les erreurs relatives; à marquer les deux points
extrêmes qui correspondent aux limites données du rapport ^^
à tracer la corde qui joint ces deux points, à mener à l'arc qu'elle sous-tend une tangente parallèle à cette corde, et enfin à tracer une droite à égale distance de la corde et de la tangente: ce sera la droite cherchée. On voit tout de suite que la substitulion de cette droite à l'arc est plus prés d'être exacle pour l'hyperbole, où la courbure va sans cesse en diminuant à
mesure que le rapport - augmente, que pour le cercle, où la
courbure reste la même partout.
^ Bulletin de laSociélé mathématique de France y t. TIH, n* 4. B. ~ m£c. colligsok. 40
