SUR LA STATIQUE GRAPHIQUE

394. On désigne par statique graphique un ensemble de méthodes réunies pour la première fois en un corps de doctrines par M. Culmann, de Zurich, et destinées à résoudre par des constructions graphiques les questions relatives à l'équilibre des systèmes matériels, notamment celles qui se rapportent à la construction. Deux méthodes principales peuvent être suivies pour Texposition de cette doctrine : la première est la méthode géométrique, qui, à part un petit nombre de principes fondamentaux, tire les théorèmes de la statique des propriétés géométriques des figures; Tautre suppose la connaissance de la statique considérée comme science indépendante, et n'emploie la géoméirie que comme un auxiliaire. La première méthode est celle qu'on suit dans les traités spéciaux : la statique graphique doit être précédée alors par l'exposition des théories de la géométrie projective et du calcul par le irait. La seconde convient mieux dans un ouvrage consacré exclusivement à la statique, lorsqu'on se propose seulement de faire voir comment les constructions graphiques se prêtent aux recherches que nous avons faites jusqu'ici par le calcul.

Les problèmes de statique comportent, en général, deux ou trois dimensions, suivant qu'on considère l'équilibre de figures dans le plan ou dans Tespace. Nous supposerons dans ce qui suit qu'il s'agisse uniquement du plan; dans ce cas l'application de la statique graphique donne lieu à des solutions d'une simplicité remarquable, et qui, presque toutes, dérivent de l'emploi du polygone funiculaire.

395. Étant données des forces F, F', F",... dans un pian, on peut les composer en imaginant un polygone funiculaire qui les tienne en équilibre. Pour cela on imaginera une force V arbitraire, que Ton composera avec la force donnée F; la

GRAPHIQUE. 6îi7

résultante R, prolongée s'il en est besoin, coupe F' en un certain point où Ton peut la supposer appliquée ; on composera en ce point* R et F% ce qui donne une seconde résultante R^ qu'on prolongera jusqu'à la rencontre de F"; on composera R avec F", et ainsi de suite, jusqu'à ce qu'on ait épuisé de proche en proche toutes les forces données ; la dernière résultante, changée de sens, sera une force Q, qui fait équilibre aux forces P, F, F', F",... Donc les deux forces P et Q. composées ensemble, ont une résultante égale et opposée à la résultante des forces l\ F', F",... c'est-à-dire à la résultante cherchée ; cette résultante passe donc au point où se rencontrent les directions P et Q. Le polygone de Yarignon, construit i part) fait d'ailleurs connaître son intensité et son parallélisme, ce qui achève de la déterminer.

La première force P est tout à fait arbitraire. Si l'on refait la construction avec une autre force P, on aura un second polygone funiculaire qui tiendra les mêmes forces en équilibre. Cela posé on a le théorème suivant :

Quand deux polygones funiculaires tiennent en équilibre les mêmes forces, les points de concours des côtés homologues sont situés sur une seule et même droite.

Il suffit de démontrer la proposition pour trois côtés, elle s'étendra ensuite sans difficulté à un polygone d'autant de côtés qu'on voudra. Car soient a, 6, c, d,... les divers côtes du premier polygone, a', b\ (/, d',.. les côtés homologues du second. Ces deux polygones faisant équilibre aux mêmes forces, si la proposition est établie pour un contour polygonal de 3 côtés consécutifs, les côtés a et a', b et b\ cet c', d'une part, les côtés b et b\ c et cf,d et d\ de l'autre, se coupent mutuellement en trois points situés en ligne droite ; et ces deux droites n'en font qu*une, puisqu'elles passent toutes deux par les deux points de rencontre des côtés b et b\ c et c\

Démontrons donc le théorème pour les deux polygones funiculaires ABCD, AB'C'D, qui ont trois côtés chacun, et qui tiennent en équilibre deux forces F et F'. Les tensions T,Ti,Ty et T', T p T', des trois côtés se détermineront facilement,

soit au moyen du parallélogramme des forces, soit au moyen du polygone auxiliaire de Varignon MNP, construit en prenant pour centre le point H, s'il s'agit du polygone ÂBCD, et le

ijg. 372*

point ir s'il s'agit du polygone AB'C'D. Il s'agit de prouver que les trois points A, K et D de rencontre des côtés homologues sont en ligne droite. Nous n'aurons besoin pour cela que d'appliquer le théorème des moments.

Les trois forces T,F,T, d'une part, T',F,T% d'autre part, se faisant équilibre, prenons les moments de ces forces par rapport au point A, ce qui élimine T et T'. Du point A abaissons les perpendiculaires AI sur la direction de la force F, AG et AG' sur les directions des tensions Tj et T^ ; il viendra les égalités

T, XAG = FX AI =:T/X