D'UN POLYGONE FERMÉ

Le centre de gravité g des milieux a,c,e,...de8 côtés pris à^deux en deux à partir du côté AB, et le centre de gravitég' des milieux des autres côtés, sont en ligne droite avec le sommet k et on a la proportion

A^^n + i kg « — 1

Si l'on prenait positivement les n forces P, on aurait pour point d'application de leur résultante le centre de gravité G des n milieux, qui coïncide avec le centre de gravité des n sommets. Le point G est situé sur la droite gg' et la partage en deux segments qui satisfont à ta proportion

gii fi — l'

On voit donc que les points A et G sont conjugués harmoniques par rapport à jj et g.

Ces résultats supposent n impair.

2** Si n est pair, les côtés recevront alternativement les forces +P et — P sur tout le pourtour du polygone ; de sorte que la décomposition de chaque force ihP en deux

forces =t^P appliquées aux sommets,

donnera partout zéro pour résultante.

Donc le centre de gravité g des milieux

des côtés 1, 3, 5,... pris de deux en deux,

coïncide avec le centre de gravité g' des

milieux des côtés 2, 4, 6,... et avec le centre de gravité G de

V ensemble des milieux^ ou de V ensemble des sommets.

404. Étant donnés les milieux des côtés d*un polygone fermé, proposons-nous de construire ce polygone. On numérotera les points donnés de 1 à n. Si n est impair, on cherchera le centre de gravité g des milieux 1, 3, S,..., le centre de gravité g' des milieux 2, 4, 6...; puis on cherchera sur la droite gg' un point A qui partage la distance gg' dans le rap-

044 coMPOsrno:^ graphique de forces

port . . Ce point sera le sommet commun aux côlcs 1 et

n. Le polygone tout entier s*en déduit.

Quant au contraire le nombre n est pair, l&s centres de gravité 9 et ^ doivent coïncider pour que le problème soit possible. S*ils coïncident le sommet A est arbitraire, et il y a une infinité de polygones fermés qui ont les points donnés pour milieux de leurs côtés. S'ils ne coïncident pas, il n'y en a aucun.