DES SPHERES PLEINES

en faisant porter Tintégration sur les éléments diù. Il reste à intégrer cette expression entre 0 et R. Or on a

tt« = A« + r»,

uduz=rdr.

et par suite Donc

Intégrons de r=0 à r= R, ce qui fait varier u de A à il viendra

Lorsqu'on fait croître R indéfiniment, X tend vers la valeur finie 2^/*p, qui est indépendante de la distance h. Ces préliminaires posés venons à la question. Soit OB=r le rayon de la sphère; OA = a la dislance au

Fi^'. 388.

centre du point attirant ; 0/> = a:, Op' = a? -H dx, les abscisses de deux plans infiniment voisins, déterminant dans la sphère homogène un disque MM'm'm de rayon PM = j/,

652 DÉMONSTRATION DIRECTE DE LA LOI D'ATTRACnON

L'attraclion élémentaire exercée par ce disque sur le point A sera égale à

en appelant u la distance AM, et en observant que dx est 1 épaisseur £ du disque attirant.

Le triangle OMA donne la relation

r"=a*-f-M^ — 2aiiCosx = a*-|-tt* — 2fl(a — x);

d'où Ton tire, en difîérentiant, Par suite

L'attraction totale de la sphère est la somme de cette expression différentielle, entre les limites î/=:a-j-r et u=a — r. La fonction à intégrer est une fonction entière de la variable u. Mais on peut éviter cette intégration. Rabattons AM = u en AN sur Taxe OX, en décrivant de A comme centre, avec AM pour rayon, un arc de cercle. Au point N correspond dans la sphère une ordonnée MS» qui est donnée par Toquation

r*=(a— u)« + KS*.

Donc

Ns»=t^— (a — tt)*,

de sorte que Ton a pour l'attraction totale

X=^, / iï.NS*.rf«.

DES SPUERGS PLEINES. 053

c'est-à-dire le produit de ^ par le volume V de la sphère. On a donc

en remplaçant le produit pY par la masse tolale M de la sphère.

Si Ton veut passer de là à Taltraction de la couche de rayon r et d'épaisseur dr, il suffit d'observer que celle attraction est égale à

fpdy fpSdr à* ~ a* '

en appelant S la surface sphérique ; de sorte que le théorème, démontré pour la sphère massive, s'étend immédiatement aux couches concentriques dont on peut la concevoir formée.

On reconnaît en même temps que Vaitradion exercée par le point A sur un segment sphérique à une base, dont le sommet B est situé sur la droite OA, est égale à Valtraction qu'exercerait le même point sur la masse du segment S^B, obtenu en prenant AN = AM, et en menant par le point N un plan normal à OA, si elle était concentrée au centre 0 de la sphère.

On pourra, en s'aidant de ce théorème, partager la sphère massive en segments dont les attractions sur le point A soient égales, ou proportionnelles à des nombres donnés.