AO '0B

Les points G et 0', divisant la distance AB^ eii deux segments qui sont entre eux dans le même rapport, coïncident, et le point O' se confond avec le point G. •

AIE D'UN COUPLE. 1i

Les forces R et R' égales et contraires, appliquées en ce même point 0, se font équilibre, et par conséquent le couple (F^, ¥\) est équivalent au couple (F, F'), si les moments Fx AB, FjXAjB^ de ces deux couples sont égaux.

55. Les théorèmes que Ton vient de démontrer nous apprennent qu'au point de vue de Téquilibre un couple doit être regardé comme complètement défini, au sens près, dès qu'on donne son moment et un plan parallèle à celui dans lequel il agit. Au lieu d'un plan, on peut donner une normale à ce plan, et prendre sur cette normale une longueur égale au moment du couple : ce qui suppose le choix préalable d une échelle des moments. La longueur et la direction de cette droite définiront à la fois le moment du couple et le plan dans lequel il peut être censé agir. La position vraie de la droite dans l'espace est d'ailleurs indifférente; elle peut être déplacée comme on voudra, pourvu qu'on n'en altère pas le parallélisme. De plus le sens de la droite peut servir à définir le sens du couple; pour cela, on la dirigera du côtédu plan du couple où un obseryateur, couché le long de la droite, les pieds sur le plan, verrait le couple tendre à agir dans le sens des rotations positives, c'est-à-dire p. ^^

de gauche à droite. Une droite ainsi

construite, définie de direction mais non de position, définie en outre de sens et de grandeur, est ce qu'on appelle Vaxe du couple. Soit donné l'axe OA d'un couple, cet axe étant dirigé dans le sens OA; on trouvera le couple correspondant, ou un couple équivalent, en menant par le point 0, origine de Taxe, un plan P, dans lequel on supposera appliquées deux forces égales, parallèles et de sens contraires, F et F' ; leur distance BC est arbitraire, mais le produit FxBC doit être égal à la longueur OA, évaluée à l'échelle des moments. Enfin on dirigera les forces F et F' de telle sorte, que la tendance à la rotation figurée par le couple ait lieu de gauche à droite

70 COIIPOSITIO»

par rapport à un observateur placé les pieds en 0 et la tète en A.

56. La composition des couples se ramène à la composition des forces.

Supposons que deux couples soient situés dans le même plan ou dans des plans parallèles. On connaît la valeur commune, F, des forces du premier couple, et la longueur b de son bras de levier ; le moment sera Fft, avec lé signe + ou avec le signe — , suivant le sens dans lequel il agit. Nous pouvons admettre que le signe du moment soit attribué au facteur F, l'autre facteur b étant toujours pris en valeur absolue. Pour l'autre couple, il a de même une force F' qu'on prendra avec le signe convenable, et un bras de levier b' qu'on regardera comme positif. Nous pouvons, sans rien changer à réquilibre, substituer au couple ¥V un couple F\ qui aurait le même bras de levier que le premier couple, avec une force F" telle, que Ton ait l'égalité

Les deux couples Fft et F^ft ont donc des bras de levier égaux, et on peut déplacer le second couple en le faisant tourner dans son plan ou en le transportant dans un plan parallèle, de manière a faire coïncider les points d'application des forces F et F*. Ces forces agissent alors suivant des directions identiques ; elles se composent aux deux extrémités du bras de levier en deux forces égales à leur somme algébrique, F H- F*; le résultat de cette composition est un couple situé dans le même plan que les deux premiers, ou dans tout autre plan parallèle, et dont le moment est égal à

c'est-à-dire à ou encore à

F6-fF^6'.

Le moment du couple résultant est donc égal à la somme algébrique des moments composants.

Cette proposition s'étend à un nombre quelconque de couples, et l'on parvient à ce théorème :

Le couple résuUaiit de tant de couples donnés qu'on voudra^ Mtués dans des plans parallèles, est situé dans un plan parallèle aux plans des couples donnés, et son moment est la somme algébrique des moments des couples composants.

Vaxe du couple résultant est donc aussi la somme algébrique des aies des couples composants ; de sorte qu'on peut dire que Vaxe du couple résultant est la résultante des axes des couples donnés^ composés comme des forces à partir d'un même point de l'espace. On verra tout à l'heure que cette proposition est générale.

La composition.par voie d'addition des couples parallèles montre bien que le moment d'un couple est la vraie mesure de son énergie. On peut admettre comme un axiome que si Ton multiplie par un même nombre n les forces d'un couple, sans rien changer à son bras de levier, l'énergie du couple est multipliée par ce nombre n. Or cela revient à additionner n couples égaux au premier, ou encore à composer ensemble n couples dont les moments soient tous égaux au moment du couple donné. Le moment du couple résultant sera égal à n fois le moment du couple primitif; en d'autres termes, les énergies des deux couples seront entre elles dans le même rapport que leurs moments.

57. Cherchons à composer deux couples donnés C, C^ agissant dans des plans qui se coupent.

On peut déplacer chacun de ces deux couples, de manière à leur donner des bras de levier situés sur la droite d'intersection des deux plans qui les contiennent. Puis on peut substituer à l'un d'eux un couple équivalent, ayant le même bras de levier que l'autre.

Soit AB ce bras de levier commun. Au point A nous aurons une force AF, dirigée perpendiculairement à AB, dans le plan PFdu premier couple C ; au point B^ une force parallèle, égale