Soient
les équations de la ligne L ; X, Y, Z, les composantes de la force suivant les axcs^ La condition d'équilibre sera exprimée par l'équation
ldX'\-'ïdij-hldzz=zO.
On a d'ailleurs, en différentiant les deux équations de la ligne L,
EQUILIBRE D*UN POIKT
Entre ces trois équations, éliminons les rapports -^^ -rz}
l'équation finale sera la condition cherchée.
Cette équation finale s'obtient en égalant à zéro le déterminant du groupe
Car, si ce déterminant n'était pas nul, les quantités ix^ dy^ d% devraient être toutes les trois égales à zéro pour satisfaire à la fois aux trois équations : ce (Jui est impossible, puisque Tune d'elles doit rester arbitraire.
La condition d'équilibre est donc, en développant le déterminant,
^*' ^\dydz rfiSy/ ^\didz 'Si^)^^\dbidy djfdx)''^'
Celte équation doit être jointe aux équations (1) de la ligne donnée, ce qui achève en général de déterminer la position d'équilibre du point.
On pourrait procéder autrement. Multiplions la première des équations (3) par une indéterminée X, la seconde par une autre indéterminée X', et ajoutons l'équation (2) aux équations (3) ainsi préparées; nous pourrons disposer des coefficients indéterminés X et X' de manière à égaler séparément à zéro les coefficients des difTérentielles dx^ dy^ d%y et nous obliendrons aii\si les trois équations
La condition d'équilibre résulte de l'élimination deXetdeX'
SUR CNE COURPE HM. ' 118
entre les trois équations (5). On retombe aiAsi sut l'équa^
tion(4) déjà obtenue. De plus, leis trois équations (5>exprt-
ment J'équilibre d'un point libre sollicité par trois forcés,
savoir :
La force donnée (X, Y, Z) ;
dp Une force dont les composantes suivant lç$ axes sont X^i
X —, X -p, et qui est normale à la surface <p=0 ;
fm% qAà qAi
Une force dont les composantes sont X'^^, ^'tT' ^ i '
et qui est normale à la surface 6=0.
û seconde méthode fait donc connaître à la fois la condition d'équilibre et les réactions des deux surfaces S et S' dont l'intersection constitue la ligne L. Ces réactions, composées ensemble, donnent la réaction de la ligne sur le point.
84. PROBii^E. — Équilibre ffun point pesant , assujetti à gtisser sans frottement sur une hélice dont Vaxe est incliné à thorizon.
Soit O'O' (fig. 76) la projection de l'axe de Thélice donnée sur un plan vertical parallèle à cet axe. Menons dans ce plan une horizontale ZZ'. L'angle de (KO* avec ZZ' sera Tinclinaison sur l'horizon de l'axe de l'hélice, ou de toutes les génératrices du cylindre à la surface duquel elle est tracée. L'hélice se projette sur le plan vertical suivant une courbe sinueuse, ATBTjAT'B''..., qui n'est autre qu'une sinusoïde. .
Un plan A'C mené normalement à Taxe de l'hélice coupe le cylindre suivant une circonférence. Rabattons ce plan sur le plan vertical, en le faisant tourner autour de son intersec^ tion avec c« plan. Nous obtiendrons le rabattement du cercle de base du cylindre ; son centre sera en 0, projection de l'axe 0'(K, et la circonférence AHKBH^A sera la projection commune, sur ce plan auxiliaire, de toutes les spires succès*^ sives de l'hélice.
La force qui sollicite le point mobile M est la pesanteur; elle agit paraUëlement au plan vertical, et perpendiculairc-
