ÉQUILIBRE D'UN SOLID

Le cas de trois points d'appui se décompose donc en deui :

Si les trois points d'appui sont en ligne droite, il faut^ pour qu*il y ait équilibre, que la résultante des forces données coupe en un certain point la ligne droite passant par les points d'appui; les réactions de ces appuis ne sont pas déterminées par les équations de la statique.

Si les trois points d'appui ne sont pas en ligne droite, il n'y a pas d'autres conditions d'équilibre que les conditions générales (1), (2) et (6); et les réactions des appuis sont déterminées par les équations (3), (4) et (5).

4'' S'il y a plus de trois points d'appui, et s'ils ne sont pas en ligne droite, il n'y a pas de nouvelles conditions d'équi* libre, mais les trois équations (3), (4) et (5) sont insuffisantes pour déterminer les réactions inconnues.

Si tous les points d'appui sont en ligne droite, il faut ajouter une nouvelle condition d'équilibre, exprimant que la résultante des forces données rencontre la droite contenant tous les points d'appui.

92. Lorsque le corps solide, au lieu d'être assujetti à glisser sur le plan sans pouvoir s'en détacher d'un côté ni de l'autre, est simplement posé sur le plan, il y a de nouvelles conditions à ajouter à celles que nous avons trouvées. On doit exprimer en effet que les réactions R, R', R", ... sont dirigées du côté du plan ver^ lequel le corps peut s'en détacher; car, par hypothèse, le plan n'exerce aucune action pour retenir le corps, lorsqu'on cherche à l'en détacher de ce côté (cf. g 77). Supposons que l'axe OZ ait été dirigé de ce côté particulier du plan : il faudra que les réactions R, R', R"', ... soient toutes positives. Or leur somme est égale à — Z^ en vertu de l'équation (3); donc il faut que — Z' soit positif, ou que T! soit négatif, ou qu'enfin la résultante des forces extérieures tende à appuyer le corps sur le plan, et non à l'en détacher. Cette nouvelle condition est suffisante pour compléter l'équilibre lorsqu'il n'y a qu'un point d'appui.

S'il y en a deux, A et R, il faut, pour que les réactions R et R' soient toutes deux positives, que la résultante des forces

POSÉ SUR UN PLAN. i57

extérieures coupe la droite AB entre les deux points  el B. La force Tl est alors décomposable en deux forces parallèles et de même sens, appliquées en A et B, et qui seront égales et contraires aux réactions cherchées (fig. 86).

Fig. 86.

Fig. 87.

S'il y a trois points, non en ligne droite, A, B, C, la résultante des forces extérieures devra, pour l'équilibre, passer dans l'intérieur du triangle ABC. Supposons, en effet, qu'elle passe par un point I, extérieur à ce triangle (fig. 87). L'un des côtés CB du triangle, prolongé indéfiniment, laissera le point I fH le sommet A de différents côtés de sa direction. Or la résultante appliquée en I est dirigée de haut en bas ; la réaction du plan sur le point A ne peut être dirigée que de bas en haut. Ces deux forces tendraient toutes deux à faire tourner le corps dans un même sens autour de CB. L'équilibre ne serait donc pas possible, et le corps c\MmTeTax% autour du côtéÇB.

Il faut donc, pour l'équilibre, que le point de passage de la résultante, I, soit compris à l'intérieur du triangle ABC. Celte condition remplie (fig. 88), il sera facile de déterminer les réactions positives des points A, B, C. Prenons les moments des forces par rapport à un côté quelcon* que, BC. Abaissons des points A et I^ sur ce côté BC, des perpendiculaires AA% la. Appelons, comme tout à l'heure, Z'ia. résultante des forces extérieures, laquelle est négative

Fig. 88.

138 ÉQUILIBRE DTN SOLIDB

par hypothèse; son moment par rapport à Taxe BC sera égal à Z'x la ; le moment de la réaction R du point  sera ^al à RxâA^ les moments des autres réactions sont nub, de sorte qu'on a Féquation

Z'Xia + RxAA'ssO,

ou bien

Mais la et ÂA' sont les hauteurs des triangles IBC, ABC, lesquels ont une base commune BC, et sont entre eux comme leurs hauteurs ; la réaction du point A est donc à la résultante des forces extérieures, prise en valeur absolue, comme le triangle IBC est au triangle ABC. De même, la réaction R' du point B est à la même résultante comme le triangle lAG est au triangle ABC, et la réaction R'^du point C esta la résultante comme le triangle lAB est au triangle ABC. La résultante des forces extérieures est d'ailleurs la somme des trois réactions R, R', R"", et le triangle ABC est la somme des trois triangles IBC, lAC, lAB; on peut donc dire que la résultante des forces extérieures se partage entre les trois points d'appui A, B, C, proportionnellement aux aires des triangles IBC, lAC, lAB, qui ont pour sommet commun le point I, et pour bases les cdtés du triangle opposés aux points d'appui.

Si les trois points A, B, C sont en ligne droite, les triantes lAC, IBC deviennent nuls, et la répartition des réactions reste, comme nous l'avons vu, indéterminée. Mais il faut toujours, pour que les réactions soient positives, que la résultante des forces extérieures coupe la droite des appuis entre les appuis extrêmes; autrement elle tendrait à faire basculer le corps autour de l'appui le plus voisin.

Enfin, s'il y a plus de trois appuis, et s'ils ne sont pas en ligne droite, on prouverait, comme nous l'avons fait pour le cas de trois appuis, qu'il faut, pour qu'il y ait équilibre, que la résultante des forces extérieures passe au dedans du poly-