THÉORÈME DE GAUSS

149. Soient M, M'*.* des points matériels faisant partie d'un système quelconque à liaisons, et P, P',..* des forces appliquées en ces pointSi A partir des points M, M',... prenons, sur

* Mémoire sur la courbure des surfaces (1780).

les directions des forces, des longueurs MN=fcP, M'N'=fcP% k étant un nombre arbitraire ; celte construction nous donne des points N, N',... que nous considérerons comme fixes. Soient p,j)'... les longueurs MN, M'N'... ainsi définies.

Cela posé, si les forces P, P',... se font équilibre^ lasomme Sp* est minimum ou waximum^parmi toutes les valeurs qa* elle \ir end lorsque les points M, M', ... subissent des déplacements virtuels compatibles avec les liaisons.

En effet, soit MM^ le déplacement virtuel imprimé au point ^ M, et [JE. la projection du point M^ sur la

^yr:::::::^^'^'^^ direction MP.

yT^ La condition d'équilibre sera

!«'•-— -.^.___^^^ 2PxM/* = 0,

N' P' ou bien

Fig. 131. ' 2P5;? = 0,

Ip étant la variation, Mpi., de la longueur MN=p. Remplaçant P par ^ , il vient

OU bien

en supprimant le facteur commun fc; on a donc

équation qui montre que ip* est en général un maximum ou un minimum.

Pour savoir si 2p* est maximum ou minimum, représentons par 0 l'angle M^MN; appelons p^ la dislance-M^N, et r le déplacement MMj ; nous aurons

y^ = p*-|- r* — 2pr cos 0 ;

donc

ce qu'on peut écrire

52p« = 2r«— 22prcos0,

et il suffira d'examiner le signe de la différence 2r* — 22prcos 6,