SOLUTION ANALYTIQUE DU MÊME PROBLÈME
162. Soit R le rayon de la sphère; a la distance OA, que nous supposerons d'abord supérieure à R.
L'attraction élémentaire exercée par un élément M de la couche sphérique sur le point A sera
m étant la quantité de matière renfermée dans le point A, et ^ — I^Ja quantité de matière
?^ \^ de l'élément attirant M.
\ Décomposons la force ç > W suivant la direction OA,
/ et suivant une direction ---^ menée dans le plan MAO
perpendiculairement à AO. Les composantes normales à AO de toutes forces élémentaires se détruisent deux à deux, et il vient pour rattraction cherchée ;
Fiff. 459.
^ AM
le signe S s'étendant à tous les éléments [x qui composent la surface sphérique, et la lettre a désignant l'angle MAO.
Pour donner à cette expression la forme différentielle, définissons la position des points M sur la sphère par deux angles, Fangle 0 = AOM, et l'angle dièdre (];, formé par le plan AOM avec un plan fixe conduit par la droite OA; tous les points de la sphère pourront être atteints en faisant varier <^ de 0 à 2z, et 6 de 0 à TT. Considérons l'élément de surface compris enire les plans «J; et ^ H- d^^ et les cônes correspondants aux angles 6 et 6 -f- rfô. Cet élément est un rectangle infiniment petit, qui a pour côtes, dans un sens MPxd^J/, ou RsinOdt^, et dans
l'autre sens, 0Mxd6 ou Rdô. Sa surface est donc égale à B*sin 6 rfO d^j et la quantité de matière qu'il Tenferme est
Posons enfin AM = m, et nous aurons pour l'attraction élémentaire estimée dans la direction AO,
fmpKHin 6dQd^ cos a
de sorte que l'attraction totale cherchée est l'intégrale double
J sinOcosaded^ I ^*^
en faisant sortir du signe // les facteurs constants.
L'intégrale relative à ^ s'opère immédiatement en observant que u et a sont des fonctions de 0 seul ; on a donc d'abord
H = 2./mpR» ' sin0cos«rfô
j I smQcoSi
Pour faire la seconde intégration, nous changerons de variables et nous exprimerons a et 0 en fonction de u. Le jriangle AMO nous donne
R« = «* -j- a« — 2/iM cos a.
Donc . • ;
COS«= -r: .
2au
Le même triangle donne aussi
u" = R« -4- a* — 2Ra cosô.
Différenliant celte équation^ il vient Donc
lia
Sabstitùonsdans la difTérentielle, nous aurons
Les limites de l'intégration seront M=:AB==fl — R et M = AC = a -H R, et nous aurons pour l'attraction totale :
L'intégrale générale est u
Faisant d'abord u = a -i- R, elle prend- la valeur
a-t-R-^ "^■ = a + R~ (fl~R) = 2R
Puis pour w=a— R, elle devient
La différence est 2R — (— 2R) = 4R, et par suite
• 27r/mpR* /•x(4TcR^Xp)Xm " = -2R^.X*^= 55 — '
expression déjà trouvée.
163. Si le point élait à rintérieur de la sphère, le calcul précédent subsisterait, sauf en ce que la limite inférieure de l'intégration serait R — a au lieu de « — R*, de sorte que l'in- i tégralc définie
aurait pour valeur la différence et l'attraction serait nulle.
164. Il y aurait encore un cas limite à examiner, celui où le point serait situé sur la couche sphérique ; on a alors a = R, et l'intégrale générale semble se réduire à u ; prise entre Içs limites M = 0 et tt = 2R, elle aurait la valeur 2R.
Mais Texactitude du résultat serait douteuse, parce que le
terme — de Tinlégrale générale ne peut pas être supprimé comme nul quand on donne k u la valeur zéro. Pour traiter ce cas, il vaut mieux revenir à la variable 6 ; on a àIafois(fig. 140)
• cosa = sin^,
et la distance AM = m s exprime par 2R sin ^ ; par conséquent
• A j/. sin ô sin -5 gingcosaae 2 ,
2sin*^cosr • cos-s^ô cos-d-
: -^de =
4R* sm' s
en supprimant le facteur commun sin^x.
L'intégrale doit être prise entre les limites 6=rO et G=x. Or on a
cos2d5=sm-,
entre les limites 0=0 et 6=71:, cette ^ fonction a pour valeur l'unité.
H = ÎTt^mpR» X ^ = 'infmp: Fig. 140.
La quantité H, considérée comme fonction de la distance o,
est donc discontinue ; elle éprouve une brusque variation pour fl = R, et elle prend la valeur 0 pour toute valeur de a, positive et inférieure àR.
LOIS DE l'attraction. DES SPHÈRES PLEINES.
165. Soit 0 le centre, et CB la surface d'une sphère massive que nous supposerons homogène; nous, représenterons par p la quantité de matière contenue dans chaque unité de volume de cette sphère. Nous supposerons ensuite qu'un point matériel A parcoure la droite indéfinie OX,
Fig. 141.
menée par le centre de la sphère. En chacune de ses positions, nous appliquerons les théorèmes précédemment trouvés, et fious déterminerons Tattraction totale exercée sur lui par la sphère matérielle ; nous pourronB donc élever en ce point une ordonnée proportionnelle à cette attraction, et nous construirons ainsi une ligne dont les ordonnées successives représenteront les valeurs de l'attraction qui correspondent aux positions occupées par le point matériel sur l'axe OX.
Lorsque le point matériel est placé au centre 0, il est au centre de toutes les couches composant la sphère, et Tattraction qu'il subit est nulle, en vertu de la symétrie. L'ordonnée de là ligne cherchée est donc nulle pour le point 0.
Prenons un point A appartenant au rayon OB, à une distance a; du centre. Du point 0 comme centre avec OA pour rayon, décrivons une sphère : le point A, placé à
la surface de cette sphère, est extérieur aux différentes couches dont on 'peut la regarder couïme formée. Il est, au contraire, situé à l'intérieur de toutes les cotiches sphériques remplissant l'intervalle compris entre la sphère AO et la sphère OB, et par suite ces cpuches n'exercent pas d'action sur lui (g 160). La sphère ÔA agit sur le point A comme si toute sa matière éiait réunie en son centre; or son
volume est ^ 'î:x^\ la quantité de matière qu'elle renferme est
et raltraction exercée par un point ayant cette quantité de matière, et placé au point 0, est donnée par la formule
■ 4 Nous prendrons donc au point A une ordonnée AD= « r^fpmx ,
et nous obtiendrons le point D qui appartiendra au lieu. La même formule s'applique à toutes les positions que peufrecavoir le point attiré sur le rayon OB ; à ta limite, quand il est placé en B, il suffira de faire a? = R, rayon de la sphère, et on aura pour l'attraction correspondante
Celte quantité est représentée sur la figure par rordonnée BE. Les ordonnées AD, BE*, sont proportionnelles aux abscisses OA, OB, et par suite le lieu cherché est une droite OE. Mais cette droilene doit pas ctre prolongée au delà de TordonnéeBE, car la loi d'attraction change quand le point matériel est en dehors delà sphère.
Supposons ensuite aî> R ; le point attiré occupe une posilion A'. Il est en dehors de toules les couches sphériques matérielles; par conséquent, toute la matière de la sphère agit
comme si elle était concentrée au point 0. L'attraiction est donc représentée par
/mXgTiR'Xp jTr/lcmRs
quantité qui décroit indéfiniment à mesure que x augmente, et qui est représentée par les ordonnées décroissantes de la courbe EF, asytnplote à Taxe AX.
166. Cette théorie (roùve son application dan& l'étude de la pesanteur. La terre est à feu près sphérique. L'attraction qu'elle exerce sur un corps quelconque est donc à .peu près dirigée vers son propre centre, et elle décroît à mesure que ce corps s'éloigne, proportionnellement à l'inverse du carré de sa distance à ce point. Mais le mouvement de rotation de la terre altère ces résultats; le poids d'un côr*ps n'est pas seulement dû à l'attraction de la terre, il subit .aussi en grandeur et en direction l'influence du mouvement diurne; sous cette même influence, la terre ne peut conserver la forme sphérique, et prend une formé ellipsoïdale. De là un nouveau problème à résoudre, le problème de V attraction des ellipsôides^ qui est beaucoup plusi compliqué que celui de Tatlraction des sphères, et dont nous ne nous occuperons pas ici. Il nous suffit d'indiquer que le poids d un corps est une véritable résultante de deux actions principales, savoir : l'atlraction terrestre, et un'e force fictive due à la rotation du globe, et qu'il a pour direction la verticale, droite normale à la surface de l'ellipsoïde terrestre.
Si deux systèmes matériels sont situés à une dislance extrêmement grande par rapport à leurs dimensions, les actions attractives exercées par les molécules de l'un sur les molécules de l'autre sont sensiblement parallèles, et propoi tionnelles aux quantités de matière de ces molécules; les dislances sont en effet à peu près égales pour tous les groupes 'de molécules prises deux à deux d'un système à Tautrè. Dans ce cas, Taltraction subie par l'un des systèmes peut être assimilée à la pesanteur : toutes les forces appliquées aux divers points matériels
