BM = DC = B, DN = AB
puis joignons MN. Cette droite coupera au point G la droite KH qui joint les milieux des bases.
En effet, par le point G menons la droite I^P perpendiculaire sur les bases ; nous aurons
GH-GP=LP==Hr=a;H-î/
et de plus la proportion
GL KM 2"^ x
GP~HN "" B ~"î/'
DoncGL = xetGP=j/.
C£!ITRB DE GRATITB
QUABBILATÈBE PUN HOMOGÈNE.
177. Décomposons en deux triangles ABD, CBD, en menant la diagonale BD, le quadrilatère donné ÂBCD. Prenons le milieu I de cette diagonale, et joignons AT, CI. Sur ces droites de
jonction, prenons I(jf= ^ lA et lg':= ^ IC Les points g et ^
seront les centres de gravité des triangles ABD, CBD, et le
centre de gravité G du quadrilatère sera situé quelque part sur la droite gg\ laquelle est parallèle à la seconde diagonale AC.
' Les deux triangles ABD, CBD ont une base commune BD; ils sont donc ^^^ '^' ^ entre eux comme leurs hauteurs
AH, CK, ou comme les segments AL, *■'&• ^S2. CL, interceptés sur la seconde dia-
gonale AC par la première, ou enfin comme les segments proportionnels gM, jpM, interceptes par la même diagonale sur la droite gg'. Le centre de gravité cherché partage donc la distance gg' en segments dont le rapport, ~^,, est égal à l'inverse
du rapport, ^n/» des poids appliqués respectivement aux points
fletsT.
On a donc
Mais donc enfin
G^ = ^'M et G^ = ^M.
II suffit, pour obtenir le point G, de porter sur gg'y à partir du point sf, une longueur jfG = j'M, ce qui revient à retourner
DU QUADRILATÈaE. 200
bout pour bout la droite gg' sur elle-même. Le point M, intersection de cette droite avec la diagonale BI), passe alors au point G cherché. '
178. Remarque. — Le point g^ cenlre de gravité du triangle ÂDB, est situé sur la droite DN qui joint le sommet D au milieu M de la base (6g. 154), et le segment jfN est le tiers de la longueur totale DN de cette droite.
Nous pouvons partager le quadrilatère en deux triangles en menant l'autre diagonale AC; nous obtiendrons ainsi deux centres de gravité /, g^', aux tiers des droites. BI', DF, qui joignent les sommets B et Dau milieu Tde cette diagonale. Le cenlre de gravité du ^^^' *^*
quadrilatère sera situé sur la droite fg^'y et par suile il sera au point G, intersection, des droites gg*, gVS o^ intersection des diagonales du quadrilatère g(fg'ç["*
Mais le point f est situé sur la droite GN, qui joint le sommet G au milieu N de la base AB, dans le (riangle CAB^dont le point g' est le centre de gravité. N/ est le tiers de NC. La droite jfgT, joignant les tiers des deux droites ND, NC, est parallèle à DC, et égale au tiers de DC. Par la même raison, la droite // est parallèle à AD et égale au tiers de AD ; g' g"' est parallèle à AB et égale au tiers de AB; f'g est parallèle à BC et égale au tiers de BC.
Le quadrilatère gfg'g"' est donc semblable au quadrilatère ÂBGD, et semblablement placé; la similitude est inverse, le
rapport de similitude est r^. Le centre de similitude sera le
point de concours des quatre droites, qui joignent les points homologues Cj, D/, Bg"\ kg. Les diagonales du quadrilatère gft/if" se. couperont mutuellement au centre de gravité du quadrilatère ABCD.
tm C85TBB DE GRiTTTÉ
GE2n«E DE CAiTRÉ d'bH P0LTGO5E PLAN BOMOGÈNE.
179. La recherche da centre de gravité d^un polygone homogène se ramène à cdie du centre de gravité du triangle. Soit ABCDE un polygone d'autant de côtés qu'on voudra. Nous le supposerons convexe.
Par un sommet A, menons les diagonales AC, AD, qui partagent la surrace du polygone en n — 2 triangles, n étant le nombre des côtés. On peut mesurer la surface do chacun de ces 11—2 triangles; le centre de gravité de chacun d'eux s'obtient en joignant le point A aux milieux I, F, F,.-, des côtés qui n^aboutissent pas à ce sommet , et en prenant les points G, G', G", . . . aux deux tiers, à partir du point A, des longueurs AI, Al% AF. Ces pointa G, G', G^, seront les centres de gravité des triangles. On peut observer qu'ils sont situés à la rencontre des droites AI, Al', AL",... avec un contour polygonal bede ^^- *^*- semblable au contour BCDE, el réduit
dans le rapport de 3 à 2, en prenant le point A comme cenire de similitude.
On supposera donc aux points G, G', G",... des forces parallèles appliquées, proportionnelles respectivement aux surfaces des triangles ABC, ACD, ADE, et on composera ces forces. Pour cela, menons par le point A dans le plan du polygone deux axes rectangulaires AX, AY. Appelons a;^, y^, a;,, j/„ Xj, îfs,.-les coordonnées respectives des points I, F, I",... milieux des côtés qui n'aboutissent pas au point A ; appelons S^ S„ S,,... les surfaces de chacun des triangles ABC, ACD, ADE, et X, Y, les coordonnées du centre de gravité cherché. Les coordon* nées des points G, G', G",... seront égales à
DTK P0LYGON8.
et nous aurons par suite les équations :
2 Sta;t + S8ga-|-S:,xs+.
5 Si-+-Sa + î>s+...
y 2S»y« + ?^aya4-S^s4-.
/ 3 Sj + Ss+Ss-f...
