CENTRE DE GBÂYITÉ D^UKE LIGNE DROITE NON HOMOGÈNE
f80. La recherche du centre de gravité d'une droite finie non homogène revient à la recherche de l'abscisse du centre de gravité d'une aire plane.
Si p est la quantité de matière rapportée à l'unité de longueur, contenue dans la droite au point M, le centre de gra- Nilé de la droite s'obtiendra en faisant la somme des produits pxMm et pxMmxAM, et en divisant la seconde ^somme parla première. Élevons aux différents points de la droite des ordonnées AA', MM', BB', égales aux valeurs correspondantes du facteur p en ces points. Nous construirons ainsi une courbe A'M'B', qui pourra être continue ou discontinue, et dont l'aire élémentaire Mwm'M' représentera le produit pxMm, ou la quantité de matière contenue dans l'élément Mm. La formule qui donne le centre de gravité de la droile AB, est donc identique à celle qui donne Tabscisse du centre de gravité de la surface homogène ABB'A'.
Supposons, par exemple, que le facteur p syt nul au point A, et varie du point A au point B, proportionnellement à la dislance au point A ; alors la ligne dont les ordonnées représentent les valeurs successives de p, est une droite AB', et le centre de gravité G de l'aire ABB' est situé aux deux tiers de la distance AB. Il en est donc de même du centre de gravité g de la droite AB.
Mm Fig. 155.
Remarque. — Le centre de gravité d'un système de points ne change pas si on augmente ou diminue les poids de ces points dans un même rapport. Or, augmenter ou diminuer dans un certain rapport le poids p^ qui varie d'un point à Vautre de la droite AB, cela revient à augmen^ ter ou à diminuer dans le même rapport les ordonnées de la ligne A'B'; par conséquent' les centres de gravité de deux aires planes homogènes, dont les abscisses sont communes et les ordonnées proportionnelles, ont même abscisse. La même proposition a lieu quand les coordonnées sont obliques.
CENTRE DE GRAVITÉ d'dN SEGMENT PARABOUQUE.
181. Soit BAC une parabole, AX son axe, A son sommel, AY la tangente au sommet. On demande le centre de gravité de l'aire homogène comprise entre la courbe et la droite MM', parallèle à AY.
L'équation de la courbe, rapportée aux axes AX, AY, est
y* = 2par.
Le centre de gravité cherché est sur l'axe AX; il suffit de trouver son abscisse Ç. Elle sera donnée par l'équation
j2yx(lx fyxdx ^"7 yiydx "^ Sydx '
les intégrales étant prises entre les limites x=0 et a; = AP. Soit AP = a.
Pour faciliter les intégrations, prenons y pour variable indépendante. Il vient
dx=y^^.
D'UN SEGMLNT DE PAHABOLB.
Svx"-^
Or
Les limites des intégrations sont ici î/=0 et t/=PM=y/2po.
V2pâ
et par suite
Le centre de gravité est donc situé sur AP à une distance du sommet A égale aux trois cinquièmes de la flèche AP du segment donné.
Ce résultat s'applique à lout autre segment de parabole, lors même que Tangle de la corde MiM' avec le diamètre conjugué AP ne serait pas droit. Le centre de gravité du segment MAM' est en G, sur le diamètre AX (conjugué
de la corde MM', et AG est égal aux ^ de la
flèche AP mesurée sur ce diamètre. On peut remarquer que le point G, situé sur le diamètre AX, ne change pas de position quand on déforme le segment parabolique en faisant lomner d'un môme angle toutes les ordonnées PM, autour de leur pied P, et qu'on les amène a être perpendiculaires à AX. On trans^oraïc ainsi lo segment oblique MAM' en un segment M^AM'^ qui a le même centre de graMté, et dans lequel la droite AX est l'axe de la courbe.
Fig. 158.
