GOURDES
204. La recherche du centre de gravité d'un arc de courbe plane homogène suppose connue la longueur s de cet arc; elle exige de plus l'intégration des différentielles xds^ yds, ce qui fait en tout trois quadratures à exécuter. 11 y a des cas ou la recherche des intégrales fxds et fyds est plus simple que celle de fds, et peut s'achever sans introduire d'autres transcendantes que les fonctions circulaires et logarithmiques, tandis que rintégrale fds représente une fonction plus élevée. Dans ce cas, on peut construire a priori une droite sur laquelle sera situé le centre de gravité cherché..
Considérons,par exemple, un arc d'ellipse, commençant au sommet du grand axe, et terminé en un point quelconque du quadrant. Les coordonnées a; et y d'un point de l'ellipse seront données par les équations
« = «cos B, y'= h cosô,
a étant le demi grand axe et h le demi petit axe. On en déduh
d» = de V^««sin*ô + 6«cos» ô,
quantité non intégrable; tandis que et
yd^ = a sin BdB V^a«sin«ô-+-6»cos«e,
sont réductibles à une forme intégrable en faisant u = asinO dans la première, et u=5cosO dans la seconde. On pourra
D'ELLIPSE OU DE LEMSISCaTE. 315
donc achever ces dernières -intégrations. Désignons par P et Q les fonctions qu'on obtiendra, prises entre les limites 0 et 6 qui définissent les deux extrémités de Tare ; Ç et v) étant les coordonnées du centre de gravité, on aura, en appelants la longueur de Tare,
et
Q Donc
équation d'un^ droile qui passe par l'origine et par le centre de gravité cherché. On pourra tracer cette droite avant de connaître l'arc S, fonction elliptique de seconde espèce, qui n'est pas exprimable en termes finis.
Pour second exemple, prenons la lemniscate représenlée en coordonnées rectangles par Téquation
ou en coordonnées polaires par l'équation
r = av^oos2ô.
On passe de la première forme à la seconde en faisant x==rçosô et j/ = rsinô. Cherchons le centre de gravité d'un are commençant au sommet, a: = a, î/ = 0, de la courbe.
De l'équation de la courbe on déduit successivement
V t"Os29 VCOS26I
expression qui a pour intégrale une fonction elliptique de -première espèce;
I ûdB I flrfO
xd9 = rcosô X • , = a Vcosïô.cosô X -p^^ = à^cosBdO,
VC0s2ô vcosïê
ydg=z rsin0X-7= = a*sin9J0.
Vcos2ô
