ÉQUATION DU SECOND DEGRE
d'où Ton dt'duil
(*=\lq.
De plus
OD = 20AcosAOB = S^ycosO.
On a donc
'2qcosB=j)p, '
ou bien
2</cosO=;V^»
el enfin
M iS/q
On en déduit
et la racine cherchée a pour expression algébrique
La marche que nous avons suivie semble différente de celle qui a été exposée g 229 pour Téqualion générale du degré wi. Ces deux méthodes rentrent cependant Tune dans l'autre, en vertu du théorème du g 218 ; le point 0 est le centre de gravité d'un système de poids égaux respectivement à g, à p et à l'unité, appliqués respectivement aux pomts A', B* et C, à des distances 0A'=1, OB'=p, OC=p*.
ÉQUILIBRE d'un TÉTRAÈDRE;
251. On propose de démontrer qu'un tétraèdre est en équilibre quand il est soumis à Faction de quatre forces normales àscs faces, appliquées en leurs centres de gravité, propor-
EQUILlBliE D'UN TÉTRAÈDRE. 553
lionnelles à leurs aires respectives, .et -dirigées toutes vers rinlérieur du corps, ou toutes vers rextérieur.
Soient A^, A^, A^, A^ les quatre faces du tétraèdre; le§ lettres désignent à la fors les faces et les aires de ces faces. Une face quelconque, A^, est égale à la somme algébrique des projections des trois autres sur son propre plan. On a donc l'équation
A4 = AiCOs(Ai, Aj H- A^cos(Aj, A4) H- AjCOsUj, aJ.
Les forces P^, Pj, P3, P^, respectivement appliquées aux centres de gravité, G^, G„ G3, G^, des quatre faces, sont proportionnelles-aux aires de ces faces, et par suite
■ IV=PiCOs(AirAj+P2COs(Â^)+I*3COs(Ar7ï;).
Or l'angle de la face A^ avec la face A^ est égal à Tangle que fait la normale P^ sur la face Aj avec la normale P^ sur la face A^, pourvu qu^on dirige ces deux normales à .la fois vers Tintérieur, ou à la fois- vers l'extérieur de la pyramide. Il en est
de même des angles (A^jAj et (A3,AJ, de sorte qu'on peut écrire ' '. ., . '
, P4=Picos(0";) + P2cos(iCpi)+i*5cos(r»rï^),
ce qui indique que la somme algébrique des projections des forces I\, Pg, Pj, P^ sur un axe normal à la face A^ est identiquement nulle. On démontrerait de même que la somme algébrique des projections des quatre forces est nulle sur les axes normaux à deux des trois autres faces, et par suite elle est nulle pour un axe quelconque mené dans Tespace. La résultante de translation des quatre forces P^, P^, P5, P^ est donc nulle, et la première condition de l'équilibre est vérifiée. • . .
Pour achever la démonstration, il suftit de prouver que la somme des moments des quatre forces est nulle par rapport à trois droites au moins, non parallèles à un même plan.
• .11. — MKC. COLLIGNON. ' '23
334 ÉQUIUBRE
Les quatre forces se réduisent à un couple; or ce couple, ne pouvant être à la fois parallèle aux trois droites par rapport auxquelles son moment est nul, est nécessairement nul , et par suite l'équilibre est assuré.
Soit SABC (fig. 209) le tétraèdre donné/dont nous supposerons la base, ABC, placée dans le plan du papier. Les arêtes SA, SB, SC sont supposées projetées sur le plan de la base.
Pour avoir les projections des centres 'de gravité des fac'es latérales, nous prendrons les milieux a, ft, c, des côtés de la base, nous les joindrons à la projection du sommet S, et nous prendrons les points a\h\ c' aux deux tiers des. longueurs Sa, St, Se, à partir du point S. Ce seront les projections des centres de gravité des faces latérales.
Les forces appliquées aux points a', fe', c', sont normales aux faces correspondantes ; leurs projections sont donc perpendiculaires aux traces des plans des faces , c'est-à-dire aux
côtés AB, BC, AC, de la base. Menons par les points, a', h\ c\ des droites, a'M, t'M, c'M, perpendiculaires à BC, AC, AB; les forces appliquées aux faces latérales seront contenues dans les plans projetants o'M, ft'M, c'M.
Ces trois plans projetants se coupent suivant une même droite perpendiculaire à ABC, et projetée au point M, Il suffit pour le démontrer de faire voir que les trois droites a'M, 6'M, c'M ont un point commun- Or si l'on mène par a\ h\ c' de»
D'UN TÉTRAÈDRÇ. 3ft5
parallèles à BC, AC, AB, on forme un triangle «Py qui ^st semblable au triangle ABC, et dont les points a\ t', c' sont les milieux des côtés. Les droites a'M, fc'M, c'M sont les perpendiculaires "élevées au milieu de ces trois côtés; elles concourent donc en un point M, centre du cercle circonscrit au triangle ap^. •
la force appliquée au centime de gravité O.du triangle ABC est normale aii plan de celt^ face.
Donc, des quatre forces P^, Pj, Pg, P^, trois rencontrent la droite projetée en M, et la .quatrième lui est parallèle.
Le parallélisme de deux droites n'est qu'un cas particulier de leur rencontre; on peut dire par conséquent que les directions des forces Pj, P^, P., f^ rencontrent la droite projetée en M, et par suite qu'houes rencontrent, quatre droites, respectivement normales aux faces du lélraèdre. Ces quatre droileis ne sont pas toutes parallèles à un même plan.
La somme des moments des quatre forces P^, P,, Pj, P^ est donc identiquement nulle par rapport à quatre axes non parallèles à un même plan, et nous avons vu que cette condilion achève d'assurer l'équilibre.
232. La proposition, démontrée pour le tétraèdre, s'étend inamédiatement à un polyèdre quelconque, car on peut toujours décomposer un polyèdre donné en tétraèdres, puis appliquer des forces égales et contrairea aux centres de gravité des faces communes à deux tétraèdres contigus, ce qui satisfait aux conditions d'équilibre de chaque, tétraèdre en particulier, sans rien changer aux conditions d'équilibre de l'ensemble, c*est-à-dire du polyèdre donné.
Mais si la piroposition est vraie pour un polyèdre quelconque, elle s'applique aussi à un solide de forme entièrement arbitraire; un solide est donc en équilibre quand sur tous ses éléments superficiels on applique des forces normales, proportionnelles à l'étendue de chaque élément^ et dirigées toutes vers l'intérieur, ou toutes vers l'extérieur. C'est pour cela qu'un corps solide quelconque plongé dans un .fluide sans. pesanteur et en repos. est nécessairement en
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équilibre sous l'action des pressions normales que le fluide développe sur tous ses éléments de surface. Nous aurons .à revenir plus tard sur ce théorème, qui a une grande importance dans l'hydrostatique, et nous en donnerons une autre démonstration.
