A LIAISONS COMPLÈTES

Le centre de gravité G du système donné est le milieu de la droite AB; l'angle AOB étanf droit, la distarjce GO est égale à la moitié de là longueur AB, et par conséquent, le lieu décrit îpar le centre de gravité est la circonférence GCMD, décrite du point 0 comme centre avec un

rayon égal 5 ^ AB. Par le point •

0, menons une verticale MN; elle coupe la circonférence en deux points M et N, où les tangentes MT, NT' seront horizontales; ce sont les .positions d'équilibre; des points M etN comme centres, avec des rayons

égaux à

^AB

décrivons des

Fig. 211.

arcs de cercles qui coupent la

direction OY aux points A^ et A^ : les droites A^B^, A^B'^ seront

les deux positions d'équilibre qu'on peut donner à la droite

mobile.

Ces deux positions se distinguent l'une de Fautre en ce que l'une, AjB^, est une position d'éqiiilibre stable, tandis que l'autre, A\B\, est une position d'équilibre instable. En effet, si on donne un petit déplacement à la droite A^B^, et qu'on l'abandonne ensuite, le poids de cette

droite tendra à la ramener à sa po- ^^^ ^^ "^

sitiôn d'équilibre, tandis que si l'on ^^-^^ " ^

opère de même sur la droite A'^B'^, le poids de la droite tendra à l'écjirter de sa position première. En général, l'équilibre stable correspond à la position qui rend le centre de gravité le plus bas possible. L'équilibre est instable, au contraire, si le centre de gravité occupe le point le plus haut de sa trajectoire. Il est égailement instable si la trajectoire PQ du centre de gravité (fig; 212) présente dans le plan vertical une inflexion au point H où la tangente HK est horizontale; car de quelque

Fig. 212.

côté gu'on déplace le système, ou bien il tendra à s*écarter de sa position d'équilibre, ou bien" il tendra à y revenir, mais pour la dépasser et s'en écarter ensuite de. plus fen plus.

Enfin, il y a un cas singulier três-remarquable, c'est celui où la trajectoire du centré de gravité est contenue dans un plan horizontal. Dans ce cas, l'équilibre est possible dans toutes les positions du système, et on dit qu'il est indifférent. Il en est de même lorsque le centre de gravité est immôlïile.

.237. Pour achever la solution du problème que nous avons' pris pour exemple, proposons-nous de trouver les réactions des droites fixes OA, OB (fig. 211), qui concourent avecle poids de la barre AB à tenir cette barre en équilibre dans la position A^B^.

Le poids de celte barre peut être considéré comme appliqué en soi! milieu M; il agit suivant la verticale MP, prolongement de OM; on peut d'ailleurs le représenter par la longueur A^B^ de la barre, en prenant l'échelle des forces en conséquence. Les réactions des points A^ et B^ sont normales à OA^, OBp- et contenues dans le plan vertical delà figure; leurs directions se coupent au centre instantané de rotation, P, delà droite A^B^, et ce point est situé sur la droite OM prolongée, puisque cette droite est normale à la trajectoire du point M. On peut donc regarder le poids de la barre comme appliqué au point P, et le décomposer en deux forces, suivant les directions PA/et PB^ ; les composantes seront les réactions cherchées. Si l'on représente le poids de la barre par sa longueur A^Bj = 0P, la réaction du point A^ sera représentée par la longueur PA^ = OB^, et la réaction du point B^ sera de même représentée par la longueur OA^.

La même décomposition s'appliquerait à la position A'^B',, qui correspond à Téquilibre instable.